3.5.2.5. Семантическая резолюция

Обратимся теперь к стратегии семантической резолюции, предло­женной Слэйглом. Стратегия на основе семантической резолюции так­же использует упорядочение литер, как и OL-резолюция. Кроме того, эта стратегия основывается на разделении всего множества исходных и порождаемых дизъюнктов на два непересекающихся класса, назовем ихТиF. Такое разбиение возможно, если задать некоторую интерпре­тациюIдля формул исходного множества. В интерпретацииIчасть дизъюнктов окажется истинной, а часть ложной. Множество истинных дизъюнктов в интерпретацииI- это по определению множествоТ; мно­жество ложных дизъюнктов в интерпретацииI- это по определению есть множествоF.

При построении вывода требуется выполнение двух условий:

1. резольвента строится для дизъюнктовС₁иС₂таких, чтоС₁  T, аC₂  F

2. отсекаемая литера в дизъюнктеС₂должна быть самой правой литерой.

Пусть E₁, E₂, ..., E_qнекоторое множество дизъюнктов, принадлежа­щихF, аN- дизъюнкт изТ.

Тогда множество {E₁, E₂, ..., E_q, N} называется клашем, если вы­полняется следующее условие:

1. R₁ = N;

2. i < 1, R_i+1есть резольвентаR_i-1иE_i-1­; отсекаемая литера - старшая вE_i(самая правая);

3. R_q+1  F.

R_q+1называется резольвентой данного клаша.

Пример. Пусть

C₁ = R   ,

C₂ = P  R,

C₃ = Q  R,

C₄ = ,

P > Q > R >

Пусть в интерпретации I R- ложен,Р- ложен,Q- ложен. Тогда клашами являются множества

K₁ = {С₃, C₄},

K₂ = {C₂, C₄}.

Вывод на основе семантической резолюции строится так, что каж­дый дизъюнкт либо принадлежит исходному множеству дизъюнктов, либо является резольвентой некоторого клаша.

Так резольвентой С₅клашаК₁являетсяQ; резольвентойС₆клашаК₂являетсяР.

Резольвентой С₅иС₁является дизъюнктC₇ = R  .

Резольвентой С₇иС₆является дизъюнктС₈ = R.

Резольвентой дизъюнктов С₈иС₄является.

3.5.3 Резолюция в pl

Применению OL-вывода в PLпредшествует подготовительный этап, предложенный Девисом и Патнемом. Он включает в себя 3 стадии:

1. преобразование формулы в ПНФ;

2. преобразование матрицы в КНФ;

3. преобразование формулы в ССФ.

С реализацией второй стадии вы хорошо знакомы, поэтому рассмотрим 1-ю и 3-ю стадии.

В Lимеются две нормальные формы: ДНФ и КНФ, вPLроль нормальной формы играет ПНФ – предваренная нормальная форма.

Определение: Говорят, что формулаFвPLнаходится в ПНФ тогда и только тогда, когда формулаFимеет вид:(Q₁x₁)…(Q_nx_n)(M), где(Q_ix_i) (i=1,…,n) есть либо(x_i),либо(x_i) иМесть формула, не содержащая кванторов.

(Q₁x₁)…(Q_nx_n) называется префиксом формулыF, М – матрицей формулыF.

Для преобразования формулы Fв ПНФ используются законы эквивалентных преобразований, называемых законами принесения кванторов через и :

(1а) (Qx)F(x)G=(Qx)(F(x)G)

(1б) (Qx)F(x)G=(Qx)(F(x)G)

(2а) ((x)F(x))=(x)(F(x))

(2б) ((x)F(x))=(x)(F(x))

(3а) (x)F(x)(x)M(x)=( x)( F(x)M(x))

(3б) (x)F(x)(x)M(x)=( x)( F(x)M(x))

Однако инельзяпроносить черезисоответственно. В подобных случаях нужно поступать специальным образом. Т.к. каждая связанная переменная в формуле может рассматриваться лишь как место для подстановки какой угодно переменной, то каждую связанную переменнуюхможно переименовать вzи формула(x)M(x) перейдет в(z)M(z), т.е.(x)M(x)= (z)M(z). Предположим, что мы выбираем переменнуюz, которая не встречается вF(x). Тогда(x)F(x) (x)M(x)= (x)F(x) (z)M(z) путем замены всехх, входящих в(x)M(x) наz, тогда согласно (1а):

(4а) (x)F(x) (x)M(x)= (x)(z)(F(x) M(z))

(4б) (x)F(x) (x)M(x)= (x)(z)(F(x) M(z)).

Преобразование формул в ПНФ:

1. используем законы, чтобы исключить логические связки и

(5) FG=(FG)(GF)

(6) FG=FG

2. используем законы, чтобы пронести знак отрицания внутрь формулы

(7) (F)=F

(8) (FG)=FG

(9) (FG)=FG

(10) ((x)F(x))=(x)(F(x))

(11) ((x)F(x))=(x)(F(x))

3. переименовываем связанные переменные, если это необходимо

4. используем законы (1а–4б), чтобы вынести кванторы в самое начало формулы для получения формулы, находящейся в ПНФ.

Пример 1: приведем формулу(x)P(x)(x)Q(x).

(x)P(x)(x)Q(x)=

=((x)P(x))(x)Q(x)= по (6)

=(x)(P(x))(x)Q(x)= по (2а)

=(x)(P(x)Q(x)) по (3б)

где (x) – префикс, а(P(x)Q(x)) – матрица.

Пример 2: получить ПНФ для формулы:

(x)(y)((z)P(x,z)P(y,z)) (u)Q(x,y,u))=

= (x)(y)(((z)P(x,z)P(y,z))) (u)Q(x,y,u))= по (6)

= (x)(y)(z)(P(x,z)P(y,z)) (u)Q(x,y,u))= по (2б) и (9)

= (x)(y)(z)(u)(P(x,z)P(y,z)) Q(x,y,u)) по (1а)

где (x)(y)(z)(u) – префикс, а (P(x,z)P(y,z)) Q(x,y,u)) – матрица.

Рассмотрим вопрос преобразования формулы F в скулемовскую стандартную форму (ССФ).

Для этого мы должны, сохраняя противоречивость формулы, элиминировать в ней кванторы существования путем использования скулемовских функций.

Условимся, что формула F находится в ПНФ:

(Q₁x₁)…(Q_nx_n)M, гдеМв свою очередь находится в КНФ, тогда:

1. выберем самый левый квантор существования Q_r в префиксе(Q₁x₁)…(Q_nx_n) (1rn);

2. если никакой не стоит в префиксе левееQ_r, то выберем новую константуС, отличную от других констант, входящих вМ, заменим всех_r, встречающиеся вМ, наСи вычеркнем(Q_rx_r) из префикса;

3. Если Q_s1,…,Q_sm – список всех, стоящих левееQ_r,(1S₁<S₂<…<S_m<r), то выберем новыйm-местный функциональный символf, отличный от других функциональных символов, заменим всеx_r вM наf(x_s1,…,x_sm) и вычеркнем (Q_r,x_r) из префикса;

4. Весь этот процесс применим для всех  в префиксе, двигаясь слева направо (следует отметить, что порядок выбора  из префикса несущественен).

Последняя из полученных формул и есть ССФ формулы F (или просто стандартная форма формулыF). Константы и функции, используемые для замены переменных, называются скулемовскими функциями.

Пример 1: получить стандартную форму формулы(x)(y)(z)(u)(v)(w) P(x,y,z,u,v,w).

В этой формуле левее (x) нет ни одного, значит заменяемх наа.

(u) находится(y)(z), значит заменяемu наf(y,z)

(w) находится(y)(z)(v), значит заменяемw наg(y,z,v).

Тогда (y)(z)(v)P(a,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v)) – стандартная форма.

При использовании процедур опровержения не происходит потери общности, поэтому при доказательстве кванторы общности можно опустить.

Рассмотрим теперь непосредственно метод резолюций, применяемый в PL при построенииOL-вывода.

Как и в Lздесь существенным является нахождение в дизъюнкте литеры, которая контрарна литере в другом дизъюнкте. Рассмотрим дизъюнкты:С₁: P(x)Q(x) иC₂: P(f(x))R(x).

С первого взгляда в С₁нет литеры, контрарной какой-либо литере в С₂, однако если подставитьf(0)вместоxвС₁иaвместоxвC₂, то получим: С₁’: P(f(a))Q(f(a)) иC₂’: P(f(a))R(a).

C₁’ иC₂’ называютсяосновными примерамиС₁и С₂соответственно, аP(f(a)) иP(f(a))контрарны друг другу. Следовательно, изC₁’ иC₂’ можно получить резольвенту:

C₃’: Q(f(a))R(a).

В общем случае, подставив f(x) вместоx вC₁, получим:C₁^*: P(f(x))Q(f(x)). СноваС₁^* есть примерС₁. ЛитераP(f(x)) изС₁^* контрарна литереP(f(x)), тогда резольвента С₁^* иС₂:

С₃: Q(f(x))R(x).

При этом С₃’ является примеромС₃. Кроме того, дизъюнктС₃ является наибольшим общим дизъюнктом в том смысле, что все другие дизъюнкты, порожденные подобным образом, есть приме

С₃ будем называть резольвентойС₁ и С₂. Таким образом, получение резольвенты из двух дизъюнктов вPL связано с подстановкой.

Определение: Подстановка– это конечное множество вида{t₁/v₁,…,t_n/v_n}, где каждаяv_i – переменная, аt_i – терм, отличный отv_i, при этом всеv_i различны. Еслиt₁,…,t_n – основные термы, то подстановка называетсяосновной. Подстановка, которая не содержит элементов, называетсяпустойи обозначается. Будем использовать греческие буквы для обозначения подстановки.

Определение: Пусть  ={t₁/v₁,…,t_n/v_n} – подстановка иЕ – выражение. ТогдаЕ – выражение, полученное изЕзаменой одновременно всех вхождений переменнойv_i (1in) вЕнаt_i.Е называютпримеромЕ.

Определение: Пусть  ={t₁/x₁,…,t_n/x_n} и={u₁/y₁,…,u_m/y_m} – две подстановки. Тогдакомпозиция есть подстановка, которая получается из множества{t₁/x₁,…,t_n/x_n,u₁/y₁,…,u_m/y_m} вычеркиванием всех элементовt_j/x_j, для которыхt_j = x_j, и всех элементовu_i/y_i, таких чтоy_i{x₁,…,x_n}.

Пример: ={t₁/x₁, t₂/x₂}={f(y)/x, z/y}

 ={u₁/y₁, u₂/y₂, u₃/y₃}={a/x, b/y, y/z}, тогда

={t₁/x₁, t₂/x₂, u₁/y₁, u₂/y₂, u₃/y₃}={ f(y)/x, z/y, a/x, b/y, y/z}

Так как t₂=x₂, а именноz/y, то этот элемент вычеркивается из множестваy₁ иy₂ {x₁, x₂, x₃}, т.е.a/x иb/y должны быть тоже вычеркнуты. Таким образом, получаем:={f(b)/x, y/z}.

Композиция подстановок ассоциативна, а пустая подстановка  есть одновременно и левое и правое тождество, т.е.()=() и= для всех,, .

В процедуре доказательства по методу резолюций зачистую приходится отождествлять контрарные пары литер. Для этого необходимо унифицировать (склеивать) два и более выражение, т.е. мы должны найти подстановку, которая может сделать несколько выражений тождественными.

Рассмотрим унификацию выражений.

Определение: Подстановка  называетсяунификаторомдля множества{E₁,…,E_k}  E₁ =E₂ =…=E_k.

Говорят, что множество {E₁,…,E_k} унифицируемо, если для него существует унификатор.

Определение: Унификатор  для множества выражений{E₁,…,E_n} будет наиболее общим унификатором (НОУ)для каждого унификатора для этого множества существует такая подстановка, что = .

Определение: Множество рассогласований D непустого множества выраженийW получается выявлением первой (слева) позиции аргумента, на которой не для всех выражений изWстоит один и тот же символ.

Алгоритм унификации

1. Множество k = 0, W_k = W, _k =.

2. Если W_k – единичный дизъюнкт, то остановка,_k – НОУ дляW, иначе найдем множество рассогласованийD_k дляW_k.

3. Если существуют такие элементы v_k иt_k вD_k, чтоv_k – переменная, не входящая вt_k,то перейдем к шагу 4. В противном случае остановка:W не унифицировано.

4. Пусть _k+1=_k{t_k/v_k}и W_k+1=W_k{t_k/v_k}

5. Присвоить значение k+1 и перейти к шагу 2.

Пример: Найти НОУ для W={P(a,x,f(g(y))),P(z,f(z),f(u))}.

1. v₀= иw₀=w

2. D₀={a,z}. Переменной в этом множестве являетсяz, значитv₀=z, аt₀=a

3. v₁=v₀{t₀/v₀} = {a/z}={a/z}, w₁=w₀{t₀/v₀}={P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))}  {a/z} = {P(a, x, f(g(y))), P(a, f(a), f(u))}

4. w₁ – не единичный элемент.D₁={x,f(a)}

5. Из D₁ следуетv₁=x,t₁=f(a)

v₂=v₁{t₁/v₁} = {a/z}{f(u)/x}={a/z,f(u)/x},w₂=w₁{t₁/v₁}={P(a,x,f(g(y))),P(a,f(a),f(u))}{f(a)/x} = {P(a,f(a),f(g(y))),P(a,f(a),f(u))}

6. Для w₂: D₂={g(y),u}, v₂=u, t₂=g(y)

7. v₃=v₂{t₂/v₂} = {a/z, f(u)/x}{g(y)/u}={a/z, f(u)/x, g(y)/u} w₃=w₂{t₂/v₂}={P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))}  {g(y)/u} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(g(y)))}={P(a, f(a), f(g(y)))}

8. ₃= {a/z, f(a)/x, g(y)/u} – НОУ для W.

Пример:

S={M(a, S(c), S(b)), P(a), M(x, x, S(x)), M(x, y, z)  M(y, z, x), M(x, y, z)  D(x, z), D(a, b), P(w)  M(y,z,z)  D(w,z)  D(w,x)  D(w,y)}

Введем дополнительные определения.

1. Дизъюнктесть дизъюнкция литер. Иногда когда это удобно, мы будем рассматриватьмножество литеркак синонимдизъюнкта. Например,P  Q  R = {P, Q, R}.

2. Дизъюнкт, содержащий rлитер, называетсяr- литерным дизъюнктом;

3. Однолитерный дизъюнкт называется единичным дизъюнктом;

4. Когда дизъюнкт не содержит никаких литер, мы называем его пустым дизъюнктом.

Дизъюнкты P(x, f(x))  R(x,f(x),g(x)) и Q(x,g(x))  R(x, f(x), g(x))суть дизъюнкты. Считаем, что множество дизъюнктовSесть конъюнкция всех дизъюнктов изS, где каждая переменная вSсчитается управляемой квантором всеобщности. Благодаря этому соглашению стандартная форма может быть просто представлена множеством дизъюнктов. Например, стандартная форма впримере 2может быть представлена множеством

S = {P(x, f(x))  R(x, f(x), g(x)), Q(x, g(x))  R(x, f(x), g(x))}.

Мы можем элиминировать кванторы существования, сохраняя противоречивость формулы. Формула Fпротиворечива (не выполнена)не существует интерпретация, которая удовлетворяетF. Покажем это в следующей теореме.

Теорема 1.ПустьS– множество дизъюнктов, которые представляют стандартную форму формулыF. ТогдаFпротиворечива в том и только в том случае, когдаSпротиворечива.

Доказательство. Без потери общности можно положить, чтоFнаходится в предваренной нормальной форме, т.е.F = (Q₁x₁) … … (Q_nx_n) M [x₁, …, x_n]. (Мы используемM [x₁, …, …, x_n],чтобы указать, что матрицаМ содержит переменныеx₁, …, x_n).ПустьQ_r– первый квантор существования. ПустьF₁ = (x₁) … (x_r-1) (Q_r+1x_r+1) … (Q_nx_n) M [x₁, …, x_r-1, f(x₁, …, x_r-1), x_r+1, …, x_n], гдеf – скулемовская функция, соответствующаяx_r, 1 r  n. Мы хотим показать, чтоFпротиворечива тогда и только тогда, когдаF₁противоречива.

1. Предположим, что Fпротиворечива, аF₁непротиворечива, еслиF₁непротиворечива, то существует такая интерпретацияI, чтоF₁истинна вI. Это означает, что для всехx₁,…, x_r-1существует по крайней мере один элемент , для которого формула(Q_r+1x_r+1) … (Q_nx_n) M[x₁, …, …, x_r-1 , f(x₁, …, x_r-1), x_r+1 , …, x_n]истинна вI. И этим элементом являетсяf (x₁, …, x_r-1).Таким образом,Fистинна вI, что противоречит предположению, чтоFппротиворечива. Следовательно,F₁должна быть противоречива.

2. Предположим, что F₁противоречива, аFнепротиворечива. ЕслиFнепротиворечива, то существует такая интерпретацияIна областиD, чтоFистинна вI, т.е. для всех x₁, …, x_r-1 существует такой элементх_r, что(Q_r+1x_r+1) … (Q_nx_n) M[x₁, …, …, x_r-1, x_r, x_r+1, …, x_n] истинна вI.

Расширим интерпретацию I, включая функциюf, которая отображает(x₁ , …, …, x_r-1)наx_rдля всехx₁, …, …, x_r-1 вD, т.е.f (x₁ , …, …, x_r-1) = x_r.Пусть это расширениеIобозначаетсяI'. Ясно, что для всехx₁ , …, …, x_r-1 (Q_r+1x_r+1) … (Q_nx_n) M[x₁, …, …, x_r-1 , f( x₁ , …, …, x_r-1) x_r+1, …, x_n]истинна вI', т.е.F₁истинна вI', что противоречит предположению, чтоF₁ противоречива. Следовательно,Fдолжна быть противоречивой. Мы разобрали случай, когда формула имеет один. Предположим теперь, что вF имеетсяmкванторов существования. ПустьF₀ = F. ПустьF_kполучается изF_{k -1}заменой первого квантора существования вF_k--1скулемовской функцией,k = 1, …, m. Следовательно, мы заключаем, чтоFпротиворечива тогда и только тогда, когдаSпротиворечива, что и требовалось доказать.

Пусть S- стандартная форма формулыF. ЕслиFпротиворечива, то потеореме 1 F = S. ЕслиFнепротиворечива, заметим, что, вообще говоря,Fне эквивалентнаS. Например, пустьF = (x) P(x) и S = P(a). Ясно, чтоSесть следующая интерпретация:

Область: D = {1, 2}.

Значения для а:

___а___

1

Значения для Р:

_________Р______

P(1) P(2)

Л И

Тогда ясно, что F истинна в I, но S ложна в I. Таким образом, F S.

Отметим, что формула может быть иметь более чем одну стандартную форму. Ради простоты, когда мы преобразуем формулу Fв стандартную формуS, мы будем заменять кванторы существования скулемовскими функциями настолько простыми, насколько возможно. Дальше, если мы имеемF = F₁  …  F_n,мы можем отдельно получить множество дизъюнктовS_i, i = 1, …, n.Затем пустьS =S₁U …U S_n. С помощью рассуждений, подобных тем, которые даны в доказательстветеоремы 1, нетрудно увидеть, чтоFпротиворечива тогда и только тогда, когдаSпротиворечива.

Пример 3. В этом примере покажем, как выразить следующую теорему в стандартной форме.

Если х*х = едля всеххв группеG, где*есть бинарный оператор иеесть единица группыG, тоGкоммутативна.

Сначала формализуем эту теорему вместе с некоторыми основными аксиомами теории групп и затем представим отрицание этой теоремы множеством дизъюнктов.

Известно, что группаGудовлетворяет следующим четырем аксиомам:

A₁: x, y  Gвлечетx*y G(свойство замкнутости);

A₂: x, y, z  Gвлечетx*(y*z) = (x*y)*z(свойство ассоциативности);

A₃: x*e = e*x=xдля всехx  G(свойство существования единичного элемента);

A₄: для каждого элементаxGсуществует элементx^-1Gтакой, чтоx*x^-1 = x^-1*x = e(свойство существования обратного элемента).

Пусть P(x, y, z) обозначаетx*y = z и i(x)обозначаетx^-1. Тогда вышестоящие аксиомы примут вид:

A'₁: (x) (y) (z) P(x, y, z);

A'₂: (x) (y) (z) (u) (v) (w) (P (x, y, u)  P(y, z, v)  P(u, z, w) P(x, v, w)) (x) (y) (z) (u) (v) (w) (P (x, y, u)  P(y, z, v)  P(x, v, w)P(u, z, w));

A'₃: (x) P (x, e, x)  (x) P (e, x, x);

A^'₄: (x) P (x, i (x), e) (x) P (i(x), x, e).

Заключение теоремы такое:

B: Еслих*х = е для всехх G, тоGкоммутативна, т.е.u*v = v*uдля всехu,v G.

Вможет быть представлено формулой

B':(x) P(x, x, e) ((u) (v) (w) (P(u, v, w)P(v, u, w))).

3. Теперь вся формула представляется формулой F = A'₁  … A'₄B'. Таким образом,F = A'₁  A'₂  A'₃  A'₄  B'. Чтобы получить множество дизъюнктовSдляF, сперва получим множество дизъюнктовS_iдля каждой аксиомыA’_i = 1, 2, 3, 4,следующим образом:

S’₁: {P (x, y, f(x, y))};

S’₂: {P(x, y, u)  P(y, z, v)  P(u, z, w)  P(x, v, w),

P(x, y, u)   P(y, z, v)  P(x, v, w)  P(u, z, w)};

S₃: {P(x, e, x), P(e, x, x)};

S₄: {P(x, i(x), e), P(i(x), x, e)}.

Так как

B’ =  ((x) P(x, x, e)  ((u) (v) (w) (P(u, v, w)  P(v, u, w))))

=  ((x) P(x, x, e)  ((u) (v) (w) (P(u, v, w)  P(v, u, w))))

= (x) P(x, x, e)   ((u) (v) (w) (P(u, v, w)  P(v, u, w)))

= (x) P(x, x, e)  ((u) (v) (w) (P(u, v, w)   P(v, u, w))).

то множество дизъюнктов для  B’дается ниже.

T: {P(x, x, e), P(a, b, c),  P(b, a, c)}.

Таким образом, множество S = S₁  S₂  S₃  S₄  Tесть множество, состоящее из следующих дизъюнктов:

1. P(x, y, F(x, y)),

(2)  P(x, y, u)   P(y, z, v)  P(u, z, w)  P(x, v, w),

(3)  P(x, y, u)   P(y, z, v)   P(x, v, w)  P(u, z, w),

4. P(x, e, x),

5. P(e, x, x),

6. P(x, i(x), e),

7. P(i(x), x, e),

8. P(x, x, e),

9. P(a, b, c),

10.  P(b, a, c).

Пример 3показывает, как получить множество дизъюнктовSдля формулы F. Изтеоремы 1известно, чтоFобщезначима тогда и только тогда, когдаSпротиворечива. Как говорилось в начале этого параграфа, для доказательства теоремы будем использовать процедуру опровержения. Таким образом, с этого места мы будем предполагать, что на входе процедуры опровержения стоит всегда множество дизъюнктов (такое как множествоS, полученное в приведенном выше примере). Дальше мы будем использовать для множества дизъюнктов термины«невыполнимо» («выполнимо») вместо«противоречиво» («непротиворечиво»).