1.1.1 Понятие модели

В математике моделью(или реляционной системой) называется не­которое множествоМс заданным на нем набором отношений{r₁, r₂, ..., r_n}. Как известно, отношение математически пред­ставляется в следующей форме: имя_отношения (список_аргументов).

Когда идет речь о модели знаний, то отнюдь необязательно, чтобы множество Мбыло однородно (состояло только из объектов одной при­роды). Например, отношение "быть владельцем(х, у)" устанавливает, чтохесть владелецу, а экземпляр такого отношения

быть_владельцем (Иван, книга)

имеет дело с объектами разной природы. Важно подчеркнуть, что в об­щем случае отношение предполагает некоторую процедуру (называе­мую разрешающей процедурой), которая устанавливает истинность или ложность отношения. Такая процедура может задаваться алгоритмом, правилами, таблицами и иными способами. При этом, всегда стоит вопрос об эффективности (и даже существовании) разрешающей процедуры.

1.1.2. Логические модели

Поскольку логика является основой рассуждений, то ее роль в ме­ханизмах вывода является центральной. В самом общем виде логическая модель знаний- это конечное или бесконечное множество отношений логики предикатов первого порядка, называемых просто логическими формулами формул (конечное или бесконечное) логики предикатов первого порядка ( или просто логических формул). Каждая формула ло­гической модели может иметь лишь два значения - истина или ложь.

Для записи формул используется язык, содержащий алфавит и множество правил, согласно которым образуются (правильно построен­ные) формулы.

Язык логики предикатов задается следующим образом. Алфавит содержит следующие классы символов:

1. переменные, обозначаемые через x, y, z, v, u, ...,

2. константы, обозначаемые посредством a, b, c, d, ...,

3. функциональные символы, представляемые как f, g, h, ...,

4. символы отношений p, q, r, s, ...,

5. символы пропозициональных констант: TRUE(истина) иFALSE(ложь)

6. логические операторы (связки): - (отрицание, НЕ), (дизъюн­кция, ИЛИ), & (конъюнкция, И),( импликация, ЕСЛИ ...ТО),( эквиваленция, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ)

7. кванторы: (существование),(всеобщности)

8. круглые скобки (,) и запятую ",".

Для конъюнкции используется также символ , а для эквиваленцииили.

Каждый символ функции и отношения характеризуется числом аргументов данной функции (отношения) называемым местностью (арностью). Например, функция sin(х)является одноместной,f(x², x, c) - трехместной и т.п.

Далее определим класс термов:

1. переменная есть терм;

2. константа есть терм;

3. если fестьn- местная функция иt₁, ..., t_n- термы,f(t₁, ..., t_n)суть также терм.

Логическая формула задается следующей схемой:

1. если p - n- местное отношение иt₁, ..., t_n- термы, тоp(t₁, ..., t_n)есть формула (называемая атомарной)

2. пропозициональные константы TRUEиFALSEсуть формулы

3. если FиGформулы, то формулами также являются(),(F G), (F & С), (F  С), (F  С)

4. если F- формула их- переменная, то(х F ) и( х Р )- также формулы.

Для упрощения записи логических формул часто отбрасывают скобки, используя отношение порядка (старшинства) между логи­ческими операторами и кванторами. Так, будем считать, что -, ,связывают сильнее, чем &, который в свою очередь связывает сильнее оператора, а последний связывает сильнее, чем операторы,.

Поэтому формулу

(y (x ((p(x) & ((y))) ((x) (A  B))))) (1.3)

можно представить в виде

y (x (p(x) & ((y))  (x) A  B) (1.4)

Рассмотрим, как представляются знания о предметной области на основе логических формул. Предложение: " Для всех х, еслихстудент, то сдает экзаменых" может быть представлено как

x (P(x) Q(x)),

где Р - эквивалентно Студент;

Q- эквивалентно Сдает-экзамены.

Следовательно, в эквивалентной нотации, можно записать: x (Студент(x) Сдает-экзамены(x)).

Предложение: "Только артисты восхищаются артистами" получа­ет представление в виде:

 x y (B(y, x) & A(x) A(y)),

где А(х)- "x есть артист",В(у, х)- "у восхищается х".

Утверждение ассоциативности арифметической операции сложения имеет следующее формальное представление:

 x y z ((x +y) + z = x + (y + z))

Отметим, что последнее выражение с точки зрения правил построения формул логики предикатов следовало записать в виде:

 x y z E ((fadd(fadd(x, y), z) fadd(x, fadd(y, z)))),

где Е- предикат равенства ( = );

fadd- двухместная функция сложения;

fadd(t₁,t₂) - терм, представляющий сумму термовt₁иt_2.

Как видим, последнее представление значительно менее наглядное.

Отличительными чертами логических моделей являются единствен­ность теоретического обоснования и возможность реализации системы формально точных определений и выводов. Основными задачами, решаемыми на логических моделях, являют­ся следующие:

• установить или опровергнуть выводимость некоторой формулы (в общем случае эта задача алгоритмически неразрешима);

• доказательство полноты/неполноты некоторой формально логи­ческой системы, представленной множеством логических формул;

• установление выполнимости системы логических формул (нахож­дение интерпретирующей функции) или отыскание контрпри­мера, опровергающего их;

• определение следствий из заданной системы формул;

• доказательство эквивалентности двух формально-логических систем;

• поиск решения задачи на основе доказательства теоремы существования решения и др.