2.5.9.1.3. Условия корректности вычислений над конъ­юнктивной базой данных

Пусть дано исходное состояние d₀и система продукций

Рr = {рr_i = < q_{i ,} r_i >}, i=1...n, n  0

Определение 5.НазовемРr корректнойнаd₀,если не существует бесконечной последовательности применимых кd₀продукций, и для лю­бых двух результирующих ситуацийd'иd",выводимых изd₀, выполненоd'=d".

Определение 6.Систему продукций назовемконфлюэнтной,если для любых состояний базыd, d',d",таких, чтои,следует, что найдетсяd'"такое, чтои[104].

В общем случае множество продукций не упорядочено, а, следователь­но, любая из них может оказаться применимой к текущему состоянию базы (d).

Множество продукций < q_i ,r_i >,для которых найдется такая подста­новка, чтоdq_i, называетсяконфликтныммножеством продукций относительноd,CS{d)={<q,r >|dq},а конфликтное множе­ство фрагментовFr(d)определяется следующим образом:

Fr(d) = {d'  d  <q,r> d'=q}.

Так, в описанном выше примере, на втором шаге вывода конфликтное множество фрагментов состоит из двух ситуаций, описывающих наличие следующих веществ: {{MgO,H₂}, {CuO,H₂}}.

Для каждой пары элементов d'иd"изFr(d)выполнено одно из сле­дующих условий:

• d'd" =, либо

• d'd".

По определению, продукция может добавить любые новые фрагмен­ты в базу, но исключать может только те, которые описаны в ее условии применимости. Поэтому если две продукции применимы к непересекаю­щимся фрагментам базы, то применение их к этим фрагментам в любом порядке дает один и тот же результат.

Пусть d' d" —общая часть фрагментовd' иd",к которым применимыpr₁ =< q₁, r₁ >, рr₂ = < q₂, r₂>,соответственно. Если программыr₁иr₂не исключают элементы изdиd", то такие продукции можно применять кd'иd" влюбом порядке.

Если одна из продукций удаляет элементы базы, которые другая ис­пользует в условиях применимости, то, очевидно, что такие продукции невозможно применять к d'иd"в одном выводе, а, следовательно, ре­зультат вывода зависит от выбора продукции и фрагмента, что иллю­стрирует рассмотренный выше пример.

В работе [104] сформулированы три достаточных в совокупности локальных условия конфлюэнтности асинхронных моделей вычислений. Для систем продукций эти условия примут вид:

1. д

   d

   pr 

   d''

   d

   pr 

   d'

   етерминированность:d ,d', d"D,prРr,если и,, тоd'=d";

2. к

   d

   pr1pr2 

   d'

   d

   pr2pr1 

   d'',

   оммутативность:dDpr₁, pr₂Pr,еслиd',d"такие, что и

d

pr1pr2 

d'''

d

pr2pr1 

d''';

тоd"'такое, что и

3. устойчивость: d  D pr₁, pr₂  Pr,еслиpr₁  pr₂иd',d"такие, чтои,тоd"'такое, что

Очевидным следствием этих условий является следующая теорема.

Теорема 1.ПустьРr —система продукций такая, что каждая <q,r>Рrимеет позитивную программу. Тогда система продукций конфлюэнтна.

Доказательство.Поскольку каждая продукция содержит програм­му, состоящую только из операцийadd[d], которые по определению ком­мутативны и ассоциативны, то для позитивных программ определение вывода по продукции можно заменить на эквивалентное ему в этих ограничениях, а именно, будем говорить, чтоd₁d₂по продукциирr= <q,r⁺ >,если

,

где  = {d_iq}. При такой модификации вывода система продукций с позитивными программами обладает свойством 1. Проверка условий 2 и 3 также очевидна, откуда следует, что система продукций конфлюэнтна. Этот класс систем продукций аналогичен реляционнымСП предложенным А. С. Клещевым.

Выполнение условий 1 и 2 исключает неоднозначность, связанную с выбором подстановки, выполнение условий 2 и 3 исключает неоднознач­ность, связанную с выбором продукции. Следующая теорема формули­рует достаточные условия отсутствия неоднозначности второго типа.

Теорема 2:Пусть Рr— система продукций, в которой выполнено условие: для любыхpr₁= <q_1, r₁>,pr₂=<q₂,r₂>,pr₁pr₂(T(q₁)T(q₂) =)(T(out(r₁))T(q₂) =). Тогда Рr— коммутативна и устойчива.

Доказательство.Пусть выполнено условие(T(q₁)  T(q₂)=.

1. Проверка условия коммутативности. Пусть имеем . Так какT(q₁)  T(q₂)= , то существуютd'иd" такие, чтоd' = q₁ ₁d₁,d"=q₂₂ d₁ для некоторых подстановок₁и₂причем,d' d"=, а, следовательно,

d' d₁\ d", d" d₁\d'.

Тогда, по определению вывода, имеем

d₃= r₁₁ ( d')  r₂₂( d") ((d₁\d')\d"),

d'₃ = r₂₂(d")  r₁₁(d')  ((d₁\ d")\d'), откуда следует, чтоd₃=d.

2. Проверка условия устойчивости. Пусть Анало­гично выше приведенным рассуждениям можно утверждать, что существует путь , где

Доказательствотеоремы для случая(T(out(r₁))Т(q₂)==)прово­дится аналогично.

Замечание.Система продукций, для которой на каждом шаге выво­да для любой продукции <р, q>существует единственная подстановкатакая, чтоq  d_iгдеd_i— текущее состояние базы, удовлетворяет условию детерминированности. Однако проверка этого условия осуще­ствляется на текущем состоянии базы и, следовательно, это условие не­возможно проверить статически на множестве продукций независимо от базы.

Теорема 3.ПустьPr={pr_i}— система продукций, для которой выполнены условия теоремы 2. Если дополнительно для любыхрr_i =< q_i,r_i >, pr_j =< q_j,r_j >, i, j = 1 . . . n

T(q_i)  T(in(r_j)) = для исходного состояния базы d₀ выполнено условие: для всех под­становок_i, _j,еслиq_i_I  d₀иq_j_j  d₀, то q_i_i  q_j_j =. ТогдаPrнаd₀ корректна.

Доказательствоочевидным образом следует из теоремы 2 и предста­вляет собой модификацию для систем продукций условия корректности вычислений асинхронных программ.

Вернемся к примеру. Легко заметить, что условия теоремы 2 для него выполнены, т.е. различные продукции можно применить в такой системе внутри одного варианта вывода в любом порядке. Одна­ко условия теоремы 3 не выполнены. Это означает, что в этой системе результат зависит от состояния базы, т.е. от выбора подстановки.