3.5.2.1 Линейная резолюция вL

Определение. Для данного множестваSдизъюнктов и дизъюнк­таС₀изSлинейный вывод дизъюнктаС_nизSс верхним дизъюнктомС₀- это вывод, изображенный на рис. 1, где

1. для i = 0, 1, ..., n-1дизъюнктC_i+1есть резольвента дизъюнктаС_iиВ_i; дизъюнктыC_iназываетсяцентральнымиВ_i-боковыми.

2. В_iлибо принадлежитS, либо естьС_jдля некоторогоj < i. Показано, что линейная резолюция является полной, т.е. для любого противоречивого множества дизъюнктов всегда выводится пустой дизъюнкт.

Дополнительное усиление рассмотренной стратегии предложено Лавлендом, Ковальским и Кюнером. Ими установлены условия, при ко­торых центральный дизъюнкт позднее может участвовать в роли боко­вого дизъюнкта. Это свойство позволяет сократить число лишних дизъюнктов, поскольку становится ясно, будет или нет тот или иной центральный дизъюнкт использован для порождения пустого дизъюнкта. Прежде всего, множество литер произвольным образом упорядочи­вается, т.е. считается известным, какую литеру поставить левее в записи дизъюнкта, а какую правее. Например, пусть P > Q > R > тогда считаем, что дизъюнктPQзаписан верно, аPQ- нет.

При порождении резольвент отсекаемая литера включается в пред­ставление резольвенты, но при этом указывается в рамке. Например, если

C₁ = P  Q

C₂ =  R,

то резольвентаС₁иС₂имеет вид

P   R.

Литеры в рамке служат для учета отрезанных литер: они не участ­вуют в дальнейшем порождении резольвент.

Рассмотрим дизъюнкт специального вида, в котором последняя ли­тера не обрамлена и для этой последней литеры имеется контрарная об­рамленная литера, например,   .

Дизъюнкт такого типа называется редуцируемым. ЕслиС- редуци­руемый дизъюнкт, то его можно сократить за счет отбрасывания по­следней литеры, а также всех обрамленных литер, за которыми не следует необрамленной литеры. Для редуцируемого дизъюнкта  это сразу дает.

Следующая лемма формализует введенные определения.

Лемма. Если в некотором выводеСявляется редуцируемым упоря­доченным дизъюнктом, то существует центральный упорядоченный дизъюнктC_j (j<1), такой, что редукцияС_i+1дизъюнктаC_iявляется ре­зольвентойС_iиС_j.

Доказательство.ЕслиС_kиС_k+1, два соседних упорядоченных дизъ­юнкта на рис.7.1, то все литеры дизъюнктаС_kсодержатся вС_k+1(об­рамленные литеры учитываются). Действительно,С_k+1представляется как

I

(C_k\{I})  (B_k\ ),

где I- отсекаемая литера.

П

усть теперьС_iредуцируемый упорядоченный дизъюнкт, т.к. его последняя необрамленная литера, скажем,Iконтрарна некоторой об­рамленной литере , то дизъюнктС_iсодержит некоторый центральный дизъюнктP  , гдеР- некоторая дизъюнкция литер. Но тогда ре­зольвентойС_iиP  являетсяС_i  P = C_iпосколькуРсодержится вС.

С учетом доказанной леммы упорядоченный вывод (называемый OL - выводом)определяетсяследующим образом:

1. Каждый дизъюнкт В_iлибо принадлежитS, либо является ранее порожденным центральным дизъюнктом.

2. Если С_iредуцируемый упорядоченный дизъюнкт, тоС_i+1яв­ляется результатом редукцииС_i. В противном случаеС_i+1есть резольвентаС_iиВ_i, причемВ_iпри­надлежит исходному множеству дизъюнктов и отсекаемая литера вС_iпоследняя.

3. В вывод не входят тавтологии.

Пример. ПостроимOL- вывод пустого дизъюнкта из множества дизъюнктов:

C₁ = P  Q,

C₂ = R  ,

C₃ = R 

C₄ = 

C₅ =  ;

P > Q > R >

1. Находим резольвенту дизъюнктов С₁иС₂, для которых отсекае­мая литера последняя

C

Q

₆ = P   R.

2. Находим резольвенту дизъюнктов С₆и С₄:

С

Q

R

₇ = P    .

3. Поскольку дизъюнкт С₇редуцируем, то сразу находим

С₈ = Р

как результат редукции С₇.

4. Находим резольвенту дизъюнктов С₈и С₃:

P

С₉ = R.

5. Находим резольвенту С₉и С₅:

P

Q

C₁₀ =  .

C₁₀является редуцируемым дизъюнктом. Следовательно, его редук­ция сразу дает

C₁₁=.