3.5. Методы вывода и доказательства теорем

3.5.1 Механизм резолюции Робинсона

При решении задачи в форме (3.1) (Р = <Модель, Исходное_состояние, [Критерий], Решение, Решающая_процедура, [Доказательство]>) одним из эффективных подходов базируется на доказательстве теоремы о существовании решения. Идея использования техники доказательства теоремы для решения за­дач принадлежит Р. Ковальскому. Теорема существования решения формулируется следующим образом:

S(модель (S)  Sol (решение(S, Sol))), (7.1)

утверждающая, что если Sесть модель задачи, то существует выходной наборSol, являющийся результатом применения кSрешающей проце­дуры. Иначе говоря, теорема существования решения связывает вход­ные данные, выходные результаты и процедуру решения.

Если задача сформулирована на языке математической логики, то техника решения задачи через доказательство теоремы существования заключается в выполнении следующей схемы:

26. для задачи формируется теорема существования решения;

27. строится доказательство теоремы существования решения;

28. извлечение процедуры решения задачи из доказательства теоремы существования.

Основная проблема в приведенной выше схеме - это построение до­казательства. Рассмотрим в этом параграфе описание метода резолю­ций Робинсона - который считается наиболее эффективным в настоя­щее время. В силу существования недоказуемых формул в формальных системах, включающих арифметику, метод резолюций является непол­ным. Однако, если существует доказательство формулы или, то ме­тод резолюций всегда его находит.

3.5.2. Резолюция в логике высказываний

Пусть А,В,С... - атомарные формулы логики высказываний. Фор­мулу вида(AB...D), гдеА, В,…, D - атомарные формулы, назовемдизъюнктом. Говорят, что два дизъюнктаС₁иС₂содержат контрарную пару литерXи, если они имеют следующее представление:

C₁ = R...X,

C₂ = Q....

Пусть, например С₁ = А  XиС₂ = В .

Тогда дизъюнкт (АВ) является резолюцией дизъюнктовС₁иС₂.

Лемма. ПустьС₁иС₂- два дизъюнкта иI- атомарная формула. ЕслиIC₁и, то дизъюнкт(С₁\{I})является логичес­ким следствием дизъюнктовС₁иС₂.

Доказательство.ПустьС_R- резольвента дизъюнктовС₁иС₂.

Лемма утверждает, что C₁, C₂ ^ C_R,что равносильно тождественной истинности формулы C₁C₂  C_R.

Последняя ложна, если С₁  С₂истинно иС_Rложно.

Пусть С₁ = С_R  IиC₂ = С_R  .

Имеем C₁  C₂ = (C_R  I)  (C_R ) = C_R.

Следовательно, в силу преобразований логики высказываний С₁  C₂эквивалентнаС_R, а это значит чтоС₁C₂ C_Rтождественно истинная формула.

На основании метода резолюций устанавливается невыполнимость некоторого множества дизъюнктов. Пусть требуется доказать, что фор­мула выводима из формул₁,₂, ...,_n, т.е. установить, что формула

₁  ₂ ... _n   (7.2)

тождественно истинна.

Это эквивалентно доказательству того, что формула

₁  ₂ ... _n  (7.3)

является тождественно ложной.

Обозначим через - логическую константу "ложь" (пустой дизъ­юнкт). Считается, что множество формулf₁, f₂, ..., f_tпротиворечиво (не­выполнимо), если

f₁  f₂ ... f_t   (7.4)

является тождественно истинной. Таким образом, если доказывается форму­ла (7.3), то тем самым устанавливается невыполнимость множества формул f₁, f₂, ..., f_t.

Из всех этих рассуждений логически следует, что невыполнимость (7.3) эквивалентна выводимости из множества формул

₁, ₂, ..., _n,

пустого дизъюнкта. Очевидно, что пустой дизъюнкт () является ре­зольвентой дизъюнктовС₁ = IиС₂ = , т.е.I, ^.

В качестве примера установим невыполнимость множества дизъ­юнктов:

C₁ = p  q;

C₂ = p  r;

C₃ = ;

C₄ = .

1. Резольвентой С₂иС₄являетсяС₅ = r.

2. Резольвентой С₅иС₃является дизъюнктС₆ =

3. Резольвентой С₆иС₁является дизъюнктС₇ = p.

4. Резольвентой С₄иС₇является пустой дизъюнкт.

Существует несколько стратегий резолюционного вывода. Проб­лема выбора эффективной стратегии связана с уменьшением длины вы­вода или, в конечном итоге, сокращением числа лишних порожденных резольвент, которые не влияют на выводимость пустого дизъюнкта. Рассмотрим две основные стратегии порождения резольвент: линейную резолюцию и семантическую резолюцию.