- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
1.4.3. Введение в рекурсию
Рекурсия — это такой способ организации вычислительного процесса, при котором подпрограмма в ходе выполнения обращается сама к себе.
Рекурсия широко применяется в математике. В качестве примера дадим рекурсивное определение суммы первых n натуральных чисел. Сумма первых n натуральных чисел равна сумме первых (n – 1) натуральных чисел плюс n, а сумма первого числа равна 1. Или: Sn = Sn-1 + n; S1 = 1.
Напишем функцию, которая вычисляет сумму, пользуясь данным определением:
int sum(int n)
{ if (n==1) sum=1; else sum=sum(n-1)+n;
}
Обратим внимание на следующие обстоятельства.
Во-первых, рекурсивная функция содержит всегда, по крайней мере, одну терминальную ветвь и условие окончания (if (n==1) sum=1).
Во-вторых, при выполнении рекурсивной ветви (else sum=sum(n-1)+n) процесс выполнения функции приостанавливается, но его переменные не удаляются из стека. Происходит новый вызов функции, переменные которой также помещаются в стек и т.д. Так образуется последовательность прерванных процессов, из которых выполняется всегда последний, а по окончании его работы продолжает выполняться предыдущий процесс. Целиком весь процесс считается выполненным, когда стек опустеет, или, другими словами, все прерванные процессы выполнятся.
Большинство алгоритмов можно реализовать двумя способами: итерацией (т. е. с помощью цикла) и рекурсией. Так, приведенный пример с суммой легко реализуется при помощи цикла, причем это решение более эффективное, т. к. не требует дополнительных расходов стековой памяти. Вообще, если задача имеет очевидное нерекурсивное решение, то следует избрать именно его.
В качестве более интересного примера применения рекурсии рассмотрим следующую задачу. Требуется возвести число a в степень b (a и b – натуральные). Если выполнять это «в лоб», то нам потребуется выполнить b умножений: ab=a·a·a…·a (b раз). Однако, можно вычислять ab, используя следующие соображения:
Например, - итого всего 4 операции умножения, а не 7.
Несложно написать рекурсивную функцию, выполняющую вычисления по данной формуле:
unsigned int pow(unsigned int a, unsigned int b)
{ if (b==1) return a; //терминальная ветвь
else
if (b % 2 == 0)
{ unsigned int p = pow(a,b/2);
return p*p;
}
else return pow(a,b-1)*a;
}
Оценим время выполнения данного алгоритма. При выполнении функции pow число b, передаваемое при рекурсивном вызове, либо делится на 2 (если оно чётное), либо уменьшается на 1 (если оно нечётное) и тем самым становится чётным. Отсюда можно сделать вывод, что после двух последовательных рекурсивных вызовов число b уменьшится не менее чем в два раза. Рекурсия остановится, когда b станет равным 1. Таким образом, если k-общее число вызовов, то получается следующее соотношение:
,
откуда k=2log2b. Поскольку другие операции внутри рекурсивной функции выполняются за константное время, то T(b)=O(log2b)
Наименьшее число операций алгоритм будет выполнять, если b является степенью двойки. В этом случае при каждом рекурсивном вызове аргумент будет уменьшаться в два раза. Тогда общее число вызовов k найдётся так:
Отсюда заключаем, что T(b)=Ω(log2b) (действительно, раз мы рассматриваем лучший случай, то время работы алгоритма на других входных данных не может иметь порядок меньше чем log2b).
Найденные верхняя и нижняя оценки сложности совпадают, что означает, что получена точная асимптотическая оценка времени работы алгоритма: T(b)=Θ(log2b). Несложно показать, что аналогичная оценка выполняется и для памяти: M(b)=Θ(log2b) – при каждом рекурсивном вызове в стек помещается некоторое постоянное число байт – локальные переменные и параметры функции.