- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
Наиболее понятным и естественным вариантом для бинарных деревьев является ссылочная реализация. Учитывая тот факт, что в бинарном дереве каждый узел содержит не более двух сыновей, причем левого и правого сына следует различать, в указующей части каждого узла хранятся ровно две ссылки — на левое и правое поддерево. При этом бинарное дерево полностью определено указателем на его корень.
Рис.3.10. Пример бинарного дерева (a) и его ссылочного представления (б)
На рис.3.10 представлен пример ссылочной реализации бинарного дерева. Обратим внимание, что структурно каждый элемент бинарного дерева напоминает элемент двунаправленного списка, который тоже содержит ровно две ссылки. Однако смысл данных ссылок абсолютно разный, что приводит к различным алгоритмам обработки. И еще на одно обстоятельство следует обратить внимание — представление бинарного дерева содержит большое количество пустых ссылок (гораздо больше, чем линейные списки). Каждый лист содержит две пустые ссылки, а если дерево не является строго бинарным, то и внутренние узлы могут содержать пустую левую или правую ссылку. К этому обстоятельству мы еще вернемся.
Как обычно, проанализируем два варианта ссылочной реализации — на основе указателей в динамической памяти и на основе массива (вектора).
3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
Реализация на основе указателей является более простой и естественной, поэтому она наиболее распространена. При этом каждый узел описывается структурой, которая содержит, кроме данных, указатели на левого и правого сына (назовем их left_bt и right_bt). При таком подходе каждая из базовых функций реализуется буквально «в лоб» в соответствии с приведенной выше спецификацией. Пустому дереву, как обычно, соответствует пустой указатель NULL, все функции-селекторы обязательно проверяют дерево на пустоту.
В листинге 3.2. приведена реализация базовых функций бинарного дерева на основе указателей. Для того, чтобы продемонстрировать их работоспособность, в качестве примера формируется дерево из рис.3.9 (считаем, что a,b,c,d… — значения типа char) и выводится на экран в виде левого скобочного представления (для этих целей разработана рекурсивная функция out, которая ниже будет пояснена более подробно).
Листинг 3.2. Реализация бинарного дерева
// спецификация АТД Бинарное деррево, файл bintree.h
typedef char type_of_data; //тип данных, может быть любым
struct node //структура одного узла (поддерева)
{ type_of_data data; //содержательная часть узла(корень поддерева)
node *left_bt, *right_bt; //левый и правый сын узла(поддеревья)
};
typedef node* bt; // указатель на узел (корень поддерева)
//базовые функции обработки бинарного дерева
type_of_data root(bt t) //получить значение корня
bt left(bt t) //перейти к левому поддереву
bt right(bt t) //перейти к правому поддереву
bt consbt(type_of_data r, bt l_tree, bt r_tree)
//формирование дерева из корня и двух поддеревьев
bool isnull(bt t) {return t==NULL;}// проверка на пустоту
// Реализация базовых функций, файл bintree.cpp
#include <iostream.h>
#include “bintree.h”
void error() //небольшая вспомогательная функция обработки ошибки
{cerr<<"дерево пусто!!!"; exit(1);}
//базовые функции обработки бинарного дерева
type_of_data root(bt t) //получить значение корня
{ if (t) return t->data; else error();}
bt left(bt t) //перейти к левому поддереву
{if (t) return t->left_bt; else error();}
bt right(bt t) //перейти к правому поддереву
{ if (t) return t->right_bt; else error();}
bt consbt(type_of_data r, bt l_tree, bt r_tree)
//формирование дерева из корня и двух поддеревьев
{ bt t=new node; t->data=r;
t->left_bt=l_tree; t->right_bt=r_tree;
return t;
}
bool isnull(bt t) {return t==NULL;}// проверка на пустоту
// дополнительная функция - вывод левого скобочного представления
void out(bt t)
{ if (!isnull(t))
{cout << root(t)<<'('; out(left(t));out(right(t));cout<<')';}
}
// в качестве примера строим дерево, изображенное на рис.3.9,а
int main()
{ bt t=consbt('a', consbt('b', consbt('d',NULL,NULL),
consbt('e',consbt('g',NULL,NULL), NULL)),
consbt('c',NULL,consbt('f',NULL,NULL)));
out(t); cout<<endl; empty(t);return 0;
}
Последовательность формирования узлов дерева в данном примере будет приведена в следующем разделе.