3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом

Справедливо следующее утверждение:

существует однозначное соответствие между бинарным деревом и упорядоченным лесом.

Другими словами, для каждого упорядоченного леса можно построить эквивалентное ему бинарное дерево, а, выполнив обратные преобразования для бинарного дерева, можно снова получить тот же самый упорядоченный лес.

Будем считать, что упорядоченный лес задан своим графическим представлением, например, на рис.3.4,а изображен упорядоченный лес из двух деревьев. Для перехода от упорядоченного леса к соответствующему ему бинарному дереву воспользуемся следующим алгоритмом:

• разорвем все связи между узлами, оставив для каждого из них только крайнюю левую связь — от узла к его левому сыну, если он есть;

• проведем правую связь от каждого узла к его правому брату, если он есть.

Таким образом, каждый узел имеет теперь не более двух связей — правую и левую, причем любая из них может отсутствовать.. Такое представление леса называется «левый сын»-«правый брат» [3] и ему соответствует бинарное дерево, изображенное на рис.3.9, б.

а)упорядоченный лес из двух деревьев б)соответствующее бинарное дерево

в) привычное изображение бинарного дерева

Рис.3.9. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом.

Немного развернув рисунок, получим привычное изображение бинарного дерева (рис.3.9,в)

Полученное бинарное дерево также можно снова превратить в лес, выполнив обратные преобразования для каждого узла, т. е. развернув рисунок в обратном направлении и превратив правого сына каждого узла в правого брата этого узла путем изменения связей.

Поскольку алгоритмы и прямого, и обратного перехода включают действия, которые можно выполнить только единственным образом, можно говорить об однозначном соответствии между упорядоченным лесом и эквивалентным ему бинарным деревом. Такое соответствие иначе называется естественным или каноническим [8,10].

Аналогично упорядоченному лесу, для каждого упорядоченного дерева можно построить эквивалентное ему бинарное дерево, и при необходимости выполнить обратные преобразования. В полученном бинарном дереве будет только левое поддерево, поскольку у корня дерева нет братьев.

Если представить упорядоченный лес как линейный список упорядоченных деревьев (т. е. S-выражение особого вида), то напрашивается прямая аналогия с рекурсивным представлением иерархических списков в виде пары «голова-хвост». Для упорядоченного леса «голова» — первое его дерево, а «хвост»— оставшиеся деревья. В свою очередь, первое дерево (голову списка) также можно представить в виде пары «голова»-«хвост», если «головой» считать корень, а «хвостом» — лес его поддеревьев. Таким образом, любой непустой упорядоченный лес можно представить в виде трех частей:

• корень первого дерева упорядоченного леса,

• лес поддеревьев этого первого дерева,

• оставшаяся часть исходного леса без первого дерева.

Из этих трех частей всегда можно породить бинарное дерево, пользуясь его определением. Возьмем первую часть (корень первого дерева) в качестве корня бинарного дерева. Продолжим рекурсивно представление «голова-хвост» для леса поддеревьев первого дерева и получим левое поддерево бинарного дерева, а из оставшейся части исходного леса аналогично может быть сформировано правое поддерево. При этом придем к той же самой эквивалентной структуре бинарного дерева, которая ранее была получена с помощью представления «левый сын» — «правый брат».

Приведенные рассуждения еще раз подтверждают общность иерархических списков, деревьев и бинарных деревьев, а именно — любое упорядоченное дерево (лес) можно представить как в виде иерархического списка (S-выражения), так и бинарного дерева. Этот вывод имеет важное практическое следствие — реализацию любого упорядоченного дерева или леса при желании можно свести к представлению в виде:

а) иерархического списка;

б) бинарного дерева.

Реализация иерархических списков была рассмотрена ранее (см. разд. 3.1) как введение в функциональное программирование.

При использовании императивных языков (таких как С++ или Pascal) чаще применяется реализация бинарных деревьев. Отметим, что многие задачи (сортировка, поиск, сжатие данных и т. п.) сами по себе предполагают использование бинарных деревьев в качестве структур данных. Учитывая еще и возможность их использования для реализации упорядоченных деревьев, следует признать, что бинарные деревья являются основной формой представления иерархических структур. Проанализируем различные формы реализации и приведем примеры.

Однако трудно говорить о реализации бинарного дерева, не имея никакой функциональной спецификации. Поэтому представим формальную спецификацию некого абстрактного бинарного дерева, выделив минимальный набор операций универсального характера и введя соответствующий абстрактный тип данных.