- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
4. Сортировка и родственные задачи
4.1. Общие сведения
4.1.1. Постановка задачи
После изучения фундаментальных структур данных пора переходить к решению прикладных задач, имеющих практическое значение. Рассмотрим такие тесно связанные между собой задачи, как сортировка и поиск данных, которые занимают большую часть компьютерного времени в современных информационных системах. Хотя задача сортировки носит вспомогательный характер по отношению к другим задачам обработки данных, именно с нее удобно начать изучение материала, поскольку алгоритмы сортировки часто являются основой для других алгоритмов. Да они и сами по себе интересны.
Пусть имеется некоторая последовательность элементов произвольного типа (массив или связный список). Сортировкой называется расположение элементов этой последовательности согласно определённому линейному отношению порядка. Наиболее привычным является отношение "", в этом случае говорят о сортировке по возрастанию (более строго — по неубыванию). Отношения сравнения определены для большинства стандартных типов. При определении своего собственного типа пользователь может определить для него и операции сравнения и, таким образом, получает возможность отсортировать данные этого типа.
Сортировка имеет очень много применений, перечислим лишь некоторые из них:
для выполнения быстрого поиска элементов в отсортированной последовательности;
для группировки элементов по некоторому признаку (например, если отсортировать список товаров по стране изготовления, то можно быстро подсчитать количество товаров, которые поставляет каждая из стран, их среднюю цену и т.д.)
для эффективного поиска общих элементов двух или более последовательностей и др.
Прежде чем переходить к характеристикам сортировки, сделаем одно замечание. Обычно предполагается, что элементы сортируемой последовательности представляют собой записи, а упорядочение осуществляется по значениям одного из полей. Это поле называется ключом (key), а остальные поля называются связанными данными (satellite data). Такой подход к сортировке является обычным в базах данных, где данные естественно представлены в виде записей (например, данные о студентах или преподавателях).
Однако предметом данной главы является анализ алгоритмов сортировки, который фактически не зависит от типа сортируемых данных, поэтому с целью упрощения и повышения наглядности программного кода будем считать, что сортируется массив целых чисел. На практике это довольно распространенный случай. Кроме того, можно представить, что целые числа — ключи записей, а при желании любую из приводимых функций легко переработать так, чтобы она сортировала массив записей по значениям одного из полей. В следующей главе, посвященной поиску, мы будем четко отделять ключ и связанные с ним данные.
Описанные ниже алгоритмы с небольшими исправлениями применимы и для связных списков.
4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
Сортировка называется устойчивой, если после её выполнения записи с одинаковыми ключами располагаются друг относительно друга в том же порядке, что и до сортировки.
Например, рассмотрим следующую последовательность записей:
<6,'E'>, <2,'B'>, <1,'A'>, <3,'C'>, <1,'D'>.
Пусть ключами будут первые элементы записей. Устойчивый алгоритм сортировки на выходе даст нам последовательность
<1,'A'>, <1,'D'>, <2,'B'>, <3,'C'>, <6,'E'>,
в которой относительный порядок записей <1,'A'> и <1,'D'> остался без изменения. Для неустойчивого алгоритма сортировки также допустим и другой результат:
<1,'D'>, <1,'A'>, <2,'B'>, <3,'C'>, <6,'E'>,
где эти элементы поменялись местами.
Если требуется отсортировать последовательность по составному ключу (т.е. состоящему из нескольких полей), то можно для этого, используя устойчивый алгоритм, последовательно выполнить сортировку по составляющим ключа, взятым в обратном порядке.
Например, чтобы отсортировать последовательность записей вида <имя, фамилия> по фамилии, а записи с одинаковыми фамилиями - ещё и по имени, можно сначала выполнить устойчивую сортировку по имени, а затем - по фамилии:
Исходная последовательность |
Последовательность после сортировки по имени |
Последовательность после сортировки по фамилии |
Васильев Сергей Петров Иван Васильев Иван |
Петров Иван Васильев Иван Васильев Сергей |
Васильев Иван Васильев Сергей Петров Иван |
Важной характеристикой алгоритма сортировки является объём дополнительной памяти, которую он использует при своей работе. Для сортировок, которые использует не более чем константное количество дополнительной памяти, иногда используют термин “in-place”.
Некоторые авторы рассматривают такую характеристику алгоритмов сортировки, как естественность поведения, показывающую, зависит ли существенно число операций алгоритма от степени неупорядоченности исходной последовательности. Считается, что алгоритм ведёт себя более естественно, если почти отсортированную последовательность он "досортировывает" быстрее, чем произвольную.
Выделяют внутреннюю и внешнюю сортировки. При внутренней сортировке все сортируемые данные помещаются в оперативную память компьютера. Внешняя сортировка используется, когда объём данных слишком большой и они не помещается целиком в оперативную память (время сортировки в этом случае существенно зависит от числа операций обмена с внешней памятью, и алгоритмы строятся с учетом этого). В данной главе внешняя сортировка не рассматривается
Имеется очень много различных алгоритмов сортировки, они используют различные идеи. Приведем примерную классификацию методов сортировки (рис. 4.1).
Рис.4.1. Классификация методов сортировки
В данной главе рассмотрим наиболее распространенные способы, охватив практически все направления данной классификации. Начнем с самых простых методов.