- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
3.7.4. Обходы леса
Следуя каноническому соответствию между бинарными деревьями и лесами, можно на основе известных обходов бинарного дерева получить три соответствующие порядка прохождения леса (дерева). Вспомним, что любой упорядоченный лес можно представить в виде трех частей:
корень первого дерева
лес поддеревьев первого дерева
оставшиеся деревья.
На основе этого представления сформулируем правила обхода.
Прямой порядок:
а) посетить корень первого дерева;
б) пройти поддеревья первого дерева (в прямом порядке);
в) пройти оставшиеся деревья (в прямом порядке).
Центрированный порядок:
а) пройти поддеревья первого дерева (в обратном порядке);
б) посетить корень первого дерева;
в) пройти оставшиеся деревья (в обратном порядке).
Обратный (концевой) порядок:
а) пройти поддеревья первого дерева (в концевом порядке);
б) пройти оставшиеся деревья (в концевом порядке);
б) посетить корень первого дерева.
При необходимости применить какой-либо из этих обходов к лесу (дереву) можно сначала построить бинарное дерево, представляющее этот лес, а затем применить соответствующий обход бинарного дерева. Следует заметить, что такой способ не подойдет для обхода в ширину, поскольку в этом случае порядок следования узлов для исходного дерева и эквивалентного бинарного будет отличаться.
В следующем разделе мы покажем, что на уровне реализации возможно внести некоторое усовершенствование в структуру полученного бинарного дерева, которое позволит выполнять нерекурсивные функции обхода без использования вспомогательного стека.
3.7.5. Прошитые деревья
Проанализировав различные способы обхода деревьев, можно сделать вывод, что любой способ требует дополнительных расходов памяти либо во внутреннем стеке программы, либо в виде внешнего стека или очереди. При этом в структуре самого дерева имеется много пустых ссылок (в бинарном дереве их примерно столько же, сколько и непустых). Все это приводит к неэкономичному использованию памяти.
Хорошим способом сократить расходы памяти при обходе являются так называемые прошитые деревья (используем термин из [8]). Идея их очень проста — вместо пустых ссылок хранить обратные ссылки на узлы-предки, тогда в процессе обхода всю (или почти всю) необходимую информацию для перемещения между узлами можно будет получать из самих узлов. Правда при этом в каждом узле придется иметь дополнительное поле-признак, который позволит отличить указателей на сыновей от указателей на родителей. В принципе для такого признака достаточно иметь всего лишь один бит, и иногда такой бит даже находится в структуре самого дерева. Например, если известно, что в узлах хранятся только положительные значения, можно задействовать для этих целей знаковый разряд.
Алгоритмы обхода при применении прошитых бинарных деревьев несколько усложняются, поскольку необходимо предусмотреть проверку признаку, при этом время обхода незначительно увеличивается. Однако в тех случаях, когда важнее экономия памяти, прошитые деревья могут оказаться очень полезными.
Имеются различные способы реализации прошитых деревьев. Наиболее понятным и простым в реализации представляется следующий случай.
Пусть задано упорядоченное дерево произвольного вида (не обязательно бинарное). Если построить эквивалентное ему бинарное дерево, используя представление «левый сын-правый брат», то в полученном дереве у самого правого (младшего) брата гарантированно будет пустой правая ссылка (у него нет правых братьев). Эту ссылку можно использовать как ссылку на отца (обратную ссылку).
Данная идея поясняется с помощью рис.3.11. На рис.3.11,а изображено упорядоченное дерево произвольного вида. Путем изменения связей это дерево преобразуется к бинарному (рис.3.11, б). В полученном бинарном дереве узлы a,d,g и h не имеют правых сыновей, поэтому они могут использоваться для хранения обратных ссылок (они показаны пунктиром). Мы умышленно не стали разворачивать рисунок так, чтобы бинарное дерево приобрело привычный вид, чтобы хорошо была заметна аналогия с циклическими линейными списками, которые используют ту же самую идею, что и прошитые деревья.
Рис.3.12. Прошитое дерево
Проанализируем порядок выполнения прямого обхода (КЛП). Для данного дерева последовательность посещения узлов будет иметь вид
a b c e f g d h
На рис.3.12,б хорошо видно, что хранимых в дереве обратных ссылок вполне достаточно, чтобы выполнить прямой обход, не используя никакой дополнительной памяти. Структура для представления узлов дерева может иметь, например, такой вид
template <class T>
struct node
{ T data; //данные, которые содержатся в узле
node *son, *brother;// указатели на левого сына и правого брата
bool youngest; // признак самого младшего брата
}
Алгоритм прямого обхода прост [11] и понятен из рис. 3.12, б.
Если у узла имеется сын, то переходим к сыну.
Если нет сына, но имеется брат, то переходим к брату.
Если нет ни сына, ни брата, то находим брата у ближайшего предка, у которого он есть.
Если таких предков нет, то обход закончен.