- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
Вышеописанным методом можно выполнять сортировку чисел лишь из небольшого диапазона (так как массив c должен иметь приемлемую длину). Алгоритм распределяющей сортировки берёт за основу алгоритм сортировки подсчётом и позволяет выполнять сортировку чисел (и некоторых других типов) произвольной разрядности. Сначала выполняется сортировка по младшему разряду (в качестве разрядов обычно выступают байты или двухбайтные слова), затем – по следующему и т.д. до старшего. При этом используется тот факт, что сортировка подсчётом является устойчивой, в результате чего данные будут корректно отсортированы (см. начало главы).
Рассмотрим реализацию алгоритма. Сортировка подсчётом немного усложняется – добавляется код для выделения значения заданного разряда-байта, при этом используются битовые операции сдвига влево <<, сдвига вправо >> и побитового “И” &.
//сортировка подсчетом по байту с номером bytenum
void countsort(unsigned int a[], int n, int bytenum)
{ int c[256]; int i;
int shift = bytenum * 8; //смещение этого байта в битах
int mask = 0xFF << shift; //битовая маска для выделения разряда
//подсчитываем количества
memset(c,0,sizeof(c));
for (i=0; i<n; i++) c[ (a[i]&mask) >> shift ]++;
//подсчитываем сумму с накоплением
for (i=1; i<256; i++) c[i]+=c[i-1];
//заполняем результирующий массив b
unsigned int *b = new unsigned int[n];
memset(b,0,sizeof(int)*n);
for (i=n-1; i>=0; i--)
{ b[--c[(a[i]&mask)>>shift]]=a[i];
}
memcpy(a,b,n*sizeof(int));
delete[] b;
}
//Собственно сортировка будет заключаться в вызове
// данной функции для всех разрядов:
void radsort(int a[], int n)
{ for(int i=0; i<sizeof(int); i++)
countsort(a, n, i);
}
Если k – число разрядов в сортируемых числах, то сложность алгоритма составляет Θ(kn). Обычно k ограничено константой, и в этом случае время работы составляет Θ(n). Таким образом, данный алгоритм является наиболее быстрым из вышерассмотренных (хотя разница становится заметной лишь при больших объёмах данных).
Недостатком алгоритма является зависимость от типа сортируемых данных: необходимо, чтобы данные допускали возможность разбития на разряды и их количество было ограничено. Примерами таких типов данных являются числа и короткие строки.
Ещё один недостаток алгоритма – использование вспомогательного массива такого же размера, как и исходный.
4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
В случае сортировки строк переменной длины удобно выполнять распределяющую сортировку от старшего разряда к младшему. Выполнив сортировку по текущему разряду, мы разбиваем элементы на группы с одинаковым значением этого разряда. Для каждой из групп сортировка выполняется рекурсивно для следующего разряда:
void ssort(char* a[], int n, int k)
{ static char **b = new char* [n];
static int c[256]; int i,j;
//подсчет количеств каждого значения i-го символа
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=0; i<n; i++) c[(unsigned char)a[i][k]]++;
//сумма с накоплением
for(i=1; i<256; i++) c[i]+=c[i-1];
//сортировка по i-му разряду
for(i=n-1; i>=0; i--)
b[--c[(unsigned char)a[i][k]]] = a[i];
memcpy(a,b,sizeof(char*)*n);
//для каждой группы с одинаковым значением i-го разряда
//рекурсивно выполняем сортировку по (i+1)-му разряду
i=0;
while((i<n) && (a[i][k]==0)) i++;
while(i<n)
{ j = i;
while((j<n) && (a[i][k]==a[j][k])) j++;
if (j>i+1) ssort(a+i, j-i, k+1);
i=j;
}
}
В худшем случае время выполнения данного алгоритма прямо пропорционально суммарной длине сортируемых строк и является асимптотически оптимальным.
Однако, в среднем время выполнения значительно меньше, так как сортировка группы завершается, как только она начинает состоять из одной строки. Если считать, что длина префикса, которой каждая строка уникально отличается от другой, ограничена некоторой небольшой константой (что недалеко от истины), то время работы составит O(n), где n – число строк.