- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
4.3.4. Сортировка Шелла
Алгоритм сортировки Шелла представляет собой усовершенствование метода простых вставок, но обеспечивает существенно более высокую скорость работы. Алгоритм работает следующим образом. Вначале выполняется сортировка простыми вставками подпоследовательностей элементов, отстоящих друг от друга на некоторое расстояние hs. Далее аналогичная операция выполняется для hs-1, hs-2, … h1. При этом h1 должен быть равен 1 - это гарантирует корректность сортировки, поскольку на последнем проходе она превращается в обычную сортировку вставками.
Рассмотрим пример. Пусть приращения выглядят следующим образом: h1=1, h2=5, исходная последовательность:
<3,6,2,8,4,2,9,1,5,7,11,0,10,14,8,12>. На первом проходе мы выполняем сортировку подпоследовательностей, элементы которых расположены с шагом 5: <3,2,11,12>, <6,9,0>, <2,1,10>, <8,5,14> и <4,7,8>. В результате исходная последовательность преобразуется к следующей:
<2,0,1,5,4,3,6,2,8,7,11,9,10,14,8,12>.
На втором проходе h1=1, т.е. мы выполняем сортировку вставками всей оставшейся последовательности и получаем окончательный результат:
<0,1,2,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10,11,12,14>
На первый взгляд может показаться, что алгоритм Шелла должен работает ещё медленнее, чем обычная сортировка вставками, так как последний проход алгоритма как раз к ней и сводится. На самом деле это не так. Высокую эффективность алгоритма неформально можно пояснить следующим образом. На начальных проходах сортируемые группы сравнительно невелики, но в результате этих проходов значительная часть элементов оказывается вблизи нужных позиций. При росте же длины подпоследовательностей для их сортировки требуется уже сравнительно небольшое число перестановок, так как они тому времени становятся довольно хорошо упорядочены.
При анализе данного алгоритма возникают сложные математические задачи, многие из которых ещё не решены. В частности, неизвестно, какая последовательность приращений даёт наилучшие результаты. Кнут показал, что для большинства случаев хорошим выбором является последовательность h1=1, h2=3h1+1, …, hs=3hs-1+1. Величина s - наименьшее число, такое что hs+2N, где N – число элементов массива.
Например, для N=1000 нужно взять следующую последовательность приращений (в обратном порядке): 1, 4, 13, 40, 121.
При таком выборе среднее время сортировки составит O(n1.25), время сортировки в наихудшем случае – O(n1.5).
Седжвиком была предложена следующая последовательность приращений:
здесь s – наименьшее число, такое что 3hs+1N.
При таком выборе время сортировки в худшем случае составляет O(n4/3), в среднем – O(n7/6) [Кнут, том 3].
Пример сортировки Шелла с использованием последовательности Седжвика:
void shellsort(int a[], int n)
{ //заранее просчитанная последовательность приращений Седжвика
const unsigned long h[] =
{1,19,41,109,209,505,929,2161,3905,8929,16001,36289,64769,146305,260609,
587521,1045505,2354689,4188161,9427969,16764929,37730305,67084289,150958081,
268386305,603906049,1073643521,2415771649,4294770689};
//определяем начальное приращение
int s;
for(s=0; h[s+1]<n/3; s++);
//цикл по приращениям
for(; s>=0; s--)
{ //выполняем сортировку вставками с шагом h[s].
//Внешний цикл проходит по всем элементам, внутренний цикл
//вставляет элемент на соответствующее место в его группе
int step = h[s];
for(int i=step; i<n; i++)
{ int t = a[i];
int j;
for(j=i-step; (j>=0) && (a[j]>t); j=j-step)
a[j+step] = a[j];
a[j+step]=t;
}
}
}
Хотя асимптотически время работы данного алгоритма и превышает nlogn, но для реальных входных данных (помещающихся в оперативную память современных машин) он вполне способен конкурировать с описанными выше быстрыми способами сортировки.