- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.2.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.2.2. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.2.3. Статическое и динамическое выделение памяти
- •Абстрактные типы данных (атд)
- •Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.4.3. Классификация структур данных
- •Алгоритмы
- •1.4.1. Понятие алгоритма
- •1.4.2. Способы записи алгоритмов.
- •1.4.3. Введение в анализ алгоритмов Вычислительные модели
- •Задача анализа алгоритмов
- •Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.4.3. Введение в рекурсию
- •Первые примеры
- •1.5.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.5.2. Рекурсия
- •1.5.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •Задача Иосифа (удаление из кольцевого списка)
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев
- •3.4. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом
- •3.5. Бинарные деревья как атд
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применения деревьев
- •3.8.1. Дерево-формула
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Сортировка упорядоченным бинарным деревом
- •Анализ алгоритма сортировки бинарным деревом поиска
- •4.3.2. Пирамидальная сортировка
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
Анализ алгоритма сортировки пирамидой
Оценим время работы функции downheap(). На каждой итерации её цикла элемент опускается в пирамиде на один уровень, поэтому общее число шагов пропорционально высоте h пирамиды, от корня которой мы начали спускаться.
Высоту можно определить следующим образом. Пусть пирамида содержит k элементов. На первом уровне пирамиды находится 1 элемент, на втором – 2, на третьем – 4 и т.д. В общем случае, на i-м уровне находится 2k-1 элементов. Исключением является последний уровень. Если он полностью заполнен, то имеем равенство:
1+2+4+…+2i-1+…+2h=k
Воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, имеем:
2h+1-1=k h=log2(k+1)-1
Но, поскольку в пирамиде последний уровень заполнен не полностью, эту величину нужно округлить в большую сторону:
h=log2(k+1)-1
Таким образом, верхняя оценка составляет O(log k)
Несложно получить и нижнюю оценку. В худшем случае на вершине пирамиды оказывается элемент, который меньше всех остальных, и его приходится опускать до самого низу. Отсюда сразу получаем оценку Ω(log n).
Таким образом, точная асимптотическая оценка “погружения” элемента в пирамиду составляет Θ(log n).
Теперь выполним анализ собственно сортировки. На первой фазе функция downheap() вызывается порядка n раз, при этом каждый раз число элементов в пирамиде n, поэтому можно считать, что временная сложность алгоритма составляет O(nlogn).
Примечание. Мы не учли, что почти во всех вызовах downheap() число элементов в пирамиде значительно меньше n. Если более аккуратно провести анализ первой фазы, можно показать, что построение пирамиды требует всего Θ(n) операций.
На второй фазе алгоритма выполняется n-1 вызов функции downheap(), при этом каждый вызов работает с пирамидой порядка n. Таким образом, сложность второй фазы и всего алгоритма — Θ(nlog n).
Один из недостатков алгоритма сортировки пирамидой состоит в том, что он не является устойчивым. Преимущества – алгоритм не использует дополнительной памяти, работает одинаково хорошо для среднего и худшего случая.
Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
Очередь с приоритетами также часто реализуют с помощью пирамиды. При этом извлечение элемента с максимальным приоритетом из очереди осуществляется аналогично тому, как это делалось во 2-й фазе алгоритма пирамидальной сортировки.
Вставка элемента в очередь происходит похожим образом – помещаем элемент в конец пирамиды (увеличив её размер на единицу) и обеспечиваем выполнение основного свойства пирамиды для этого элемента. Основное отличие состоит в том, что при этом мы сравнивать элемент с его родителем (а не сыном) и при необходимости поднимать, а не опускать. Пример вставки элемента показан на рис.4.9.
Иногда требуется, чтобы элементы с одинаковым приоритетом выходили из очереди в том же порядке, в каком они и пришли. Для этого можно использовать разные способы, например, расширить приоритеты элементов очереди до двух частей – собственно приоритета и некоего порядкового номера, который будет увеличиваться на единицу для каждого нового элемента, помещаемого в очередь.
-
0
1
2
3
4
5
6
7
9
7
5
6
2
4
1
3
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
5
6
2
4
1
3
8
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
5
8
2
4
1
3
6
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
5
7
2
4
1
3
6
Рис 4.9. Вставка элемента в очередь с приоритетами на базе пирамиды