3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
Многие алгоритмы работы с бинарными деревьями основаны на последовательной обработке узлов дерева. Если для линейного списка последовательность обработки элементов очевидна (в однонаправленных списках только в прямом, в двунаправленных — в прямом и обратном направлении), то в бинарном дереве имеется гораздо больше возможностей из-зи наличия ветвления. В связи с этим вводится понятие обхода дерева. При обходе дерева каждый узел посещается только один раз, при этом узлы выстраиваются в определённую линейную последовательность узлов, т.е. можно говорить о предыдущем и следующем узле.
Понятие обхода вводится для любых деревьев, однако удобнее начать с обхода бинарных деревьев ввиду простоты и универсальности.
Наиболее известны и практически важны 3 способа прохождения, которые отличаются порядком и направлением обхода бинарного дерева. К сожалению, в литературе встречается довольно много различных названий для данных обходов, что порождает некоторую путаницу. В таблице 3.4 приведены основные названия (верхняя строка) и алгоритмы рекурсивного прохождения узлов дерева для каждого способа (нижняя строка).
Таблица 3.4.
Рекурсивное прохождение бинарного дерева.
Прямой порядок,
сверху вниз (в глубину), нисходящий, Preorder (префиксный) |
слева направо, поперечный,
|
Концевой порядок, обратный, снизу вверх, восходящий Postorder(постфиксный) |
Алгоритм КЛП (корень-левое-правое), 1. Попасть в корень 2. Пройти левое поддерево 3. Пройти правое поддерево |
Алгоритм ЛКП (левое-корень-правое) 1. Пройти левое поддерево 2. Попасть в корень 3. Пройти правое поддерево |
Алгоритм ЛПК (левое-правое-корень) 1. Пройти левое поддерево 2. Пройти правое поддерево 3. Попасть в корень |
Прямой порядок прохождения означает обход в направлении сверху-вниз, когда после посещения очередного разветвления продолжается прохождение вглубь дерева, пока не пройдены все потомки достигнутого узла. По этой причине прямой порядок прохождения часто называют нисходящим, или прохождением в глубину. Прямой порядок используется в представлении дерева в форме вложенных скобок (левое скобочное представление), в виде уступчатого списка или десятичной классификации Дьюи. В геналогических терминах прямой порядок прохождения дерева отражает династический порядок престолонаследования, когда титул передается старшему потомку.
При центрированном (симметричном) проядке дерево проходится слева направо. Такой порядок используется, например, при обходе бинарного дерева поиска, порождая упорядоченную последовательность значений. Подробнее об этом будет рассказано в главах, посвященных сортировке и поиску.
Если применяется концевой порядок прохождения, то получается обход дерева снизу-вверх, когда в момент посещения любого узла все его потомки уже пройдены, а корень дерева проходится последним. Из-за этой особенности обхода, концевой порядок называют восходящим, или обратным относительно прямого.
Иногда используется еще один способ обхода бинарного дерева обход в горизонтальном порядке (в ширину). При таком способе узлы бинарного дерева проходятся слева направо, уровень за уровнем от корня вниз (поколение за поколением от старших к младшим).
Таблица 3.5.
Прохождение узлов дерева при различных порядках обхода
|
Порядок обхода |
Очередность обработки узлов |
1. Прямой |
a b d e g c f |
|
2. Центрированный |
d b g e a c f |
|
3. Обратный (концевой) |
d g e b f c a |
|
4. В ширину |
a b c d e f g |
Например, построенное ранее бинарное дерево, изображеннное на рис. 3.10 (для удобства мы его перерисуем снова) можно обойти различными способами так, как показано в табл.3.5
Рассмотрим реализацию данных методов на С++, используя ссылочное представление дерева на основе указателей (листинг 3.2). Предположим, что мы имеем указатель на корень бинарного дерева.