93. 5. Способи задання функції

Відповідно до означення, функція вважається заданою, якщо задана область визначення функції і правило (закон), що встановлює відповідність між значеннями незалежної змінної x і залежної змінної y. При цьому не накладається ніяких обмежень на характер цієї відповідності.

Найчастіше функція задається за допомогою формули, що вказує, які дії треба виконати над аргументом, щоб одержати відповідне значення функції. Така формула називається аналітичним виразом, а спосіб задання функції за допомогою формули називається аналітичним способом задання функції.

Наприклад, формула означає, що для того, щоб одержати значення функції , потрібно значення аргументу піднести до квадрату і потім відняти подвійне значення цього аргументу.

Функція, представлена формулою у вигляді називається заданою аналітично явно. Функція іноді задається декількома формулами, що діють на різних ділянках зміни аргументу, наприклад, функція

визначена на проміжку . Кожному значенню з цього проміжку поставлено у відповідність одне значення функції. При цьому , і т.д.

Якщо рівняння, що задає функцію, не розв’язане відносно залежної змінної , тобто представлено у вигляді

, (2.2)

функція називається заданою неявно.

Так, рівняння неявно задає як функцію від . У ряді випадків, розв’язавши рівняння відносно , можна одержати явне задання тієї ж функції. Наприклад, рівняння неявно задає функцію .

Трапляються випадки, коли рівняння (2.2) не задовольняється жодною парою дійсних значень і . Таким є, наприклад, рівняння . Рівняння може задовольнятися лише однією парою дійсних чисел, як наприклад, рівняння задовольняється тільки значеннями , .

Аналітично представлена функція називається заданою параметрично, якщо її аргумент і функція виражені через деяку третю змінну , яку називають параметром:

, , – дійсні числа.

Якщо дано дві функції і , причому множина значень другої функції входить в область визначення першої, то називається складною функцією змінної .

Наприклад, якщо , , то – складна функція. Складними будуть функції , , і т.д.

Аналітичний спосіб задання функції компактний, легко відтворений і найбільш пристосований до виконання над функціями математичних дій.

Часто при дослідженні будь-яких процесів доводиться зустрічатися зі змінними величинами, залежність між якими встановлюється експериментальним шляхом. У таких випадках на підставі експериментальних даних складають таблиці, що відповідають різним окремим значенням аргументу. Такий спосіб задання функції називається табличним.

Знаючи аналітичний вираз функції, завжди можна представити цю функцію для цікавлячих нас значень аргументу таблицею. Говорять, функцію можна табулювати.

Табулюються в основному функції, що мають складний аналітичний вираз, але часто зустрічаються на практиці.

Помітимо, що від табличного задання функції не завжди можна перейти до її аналітичного виразу, насамперед таблиця дає не всі значення функції, і, потім, проміжні значення функції можуть бути знайдені лише приблизно. Проте, завжди можна знайти формулу, і не одну, котра для значень аргументу, що є в таблиці, з визначеною точністю буде давати відповідні табличні значення функції.

Найбільш наочним способом задання функції є графічний спосіб, коли відповідність між аргументом і функцією установлюється за допомогою графіка (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Щоб для зазначеного значення аргументу знайти відповідне йому значення функції , потрібно на осі абсцис відкласти відрізок, що визначає , а потім побудувати перпендикуляр до перетину з графіком. Довжина цього перпендикуляра з належним знаком і є числом .

Графічне задання функції одержуємо за допомогою багатьох самописних приладів, наприклад, криві на осцилографі, барографі, кардіографі і т.д. З цих графіків для будь-якого моменту часу можна знайти (приблизно) значення функцій.

Зазначені вище три способи задання функцій (аналітичний, табличний, графічний) є найбільш розповсюдженими, але не вичерпують усіх можливих способів завдання функції. Можна задати функцію за допомогою правила, що вказує які значення вона набуває для різних значень аргументу. Прикладом такої функції є функція Діріхле, обумовлена так: дорівнює нулю для всіх ірраціональних значень і дорівнює одиниці для всіх раціональних значень .

Зараз дуже широко застосовується ще один спосіб завдання функції – за допомогою програми для обчислення її значень на електронно-обчислювальних машинах (персональних комп'ютерах).