- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
11. Похідна неявно заданої функції
Нехай функція задана неявно у вигляді .
У деяких випадках рівняння, що задає функцію, можна розв’язати відносно y і знайти похідну звичайним способом. Але найчастіше дане нам рівняння елементарними засобами не приводиться до явного вигляду.
Обчислимо похідні обох частин рівності :
.
З останньої рівності одержимо:
. (3.16)
Нехай, наприклад, функція задана у вигляді .
Тоді або , звідки .
12. Похідна функції, заданої параметрично
Нехай функція задана у вигляді:
При цьому функції і диференційовані, і функція має обернену . Тоді визначену параметрично рівняннями функцію можна розглядати як складну функцію , де , t – проміжний аргумент.
За правилом диференціювання складної функції одержимо
.
На підставі теореми 3.3 , тому
. (3.17)
Приклад 3.8. Обчислити кутовий коефіцієнт дотичної до кола в точці, для якої .
Розв’язання. Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної в точці дорівнює значенню похідної в цій точці, знайдемо за формулою (3.17): , , . У точці, для якої , похідна набуває значення .
Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до кола в точці, для якої , .
13. Похідні вищих порядків
Нехай дана функція . Її похідна у свою чергу є функцією від . Для неї також можна знайти похідну. Якщо вона існує, то вона називається похідною другого порядку і записується так: (читається “ігрек два штрихи від ”) або , або (читається “де два ігрек по де ікс двічі”). Таким чином, за означенням або .
Наприклад, для , .
Друга похідна має простий фізичний зміст. Якщо заданий закон прямолінійного руху , то, як відомо, – швидкість у момент часу . Тоді , але це швидкість зміни швидкості в даний момент , тобто прискорення.
Отже, – друга похідна шляху за часом є прискорення руху в даний момент часу .
Похідна від другої похідної називається третьою похідною чи похідною третього порядку.
Означення 3.3. Похідною -го порядку називається похідна від похідної -го порядку.
Ці похідні позначають або символами чи .
Приклад 3.9. Знайти похідну -го порядку для функцій
а) , б) .
Розв’язання. Маємо:
а) , , ..., .
б) , , , , ..., .
14. Наближені обчислення за допомогою похідної
Теорема 3.4. Приріст функції і її диференціал є еквівалентними нескінченно малими при .
Дійсно, використовуючи означення еквівалентних нескінченно малих, одержуємо
.
Тут , оскільки є нескінченно малою при .
Можна стверджувати, що при досить малих значеннях :
. (3.18)
При розв'язанні багатьох задач приріст функції заміняють її диференціалом, що, звичайно, обчислити простіше. Виходячи з наближеної рівності (3.18) можна записати, що або
. (3.19)
Остання формула дає можливість приблизно обчислити значення функції для “незручного” значення аргументу , замінивши його “зручним” , при цьому у формулі – це різниця між заданим значенням аргументу і зручним для обчислення.
Приклад 3.10. Дана функція . Знайти приблизно .
Розв’язання. Приймемо , , тоді . На підставі формули (3.19) для даної функції складемо наближену рівність: . Оскільки , , , одержимо
.