- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
11. Метод найменших квадратів
Часто при розв'язку практичних задач функціональна залежність між змінними задається у вигляді таблиці:
xi |
x1 |
x2 |
... |
xn |
yi |
y1 |
y2 |
... |
yn |
Для аналізу отриманого розв'язку зручно підібрати функцію, яка відповідала б таблиці експериментальних даних і якою можна було б скористатися для одержання значень функції.
Зобразивши точки на координатній площині, можна зробити висновок про вигляд функції .
Так, якщо точки таблиці групуються біля деякої прямої, цю функцію можна шукати у вигляді лінійної функції .
Якщо ж точки розташовуються біля деякої параболи, то природно шукати функцію у вигляді квадратичної функції і т.д.
Якщо є вигляд функції, то залишається підібрати такі її коефіцієнти, при яких функція найкраще відповідала б таблиці.
Підбор значень коефіцієнтів здійснюється методом найменших квадратів, що полягає в наступному: складають суму квадратів різниць значень функції в точках і табличних значень , а потім підбирають коефіцієнти функції так, щоб ця сума була найменшою.
Нехай, наприклад, функція – лінійна, тобто . Тоді .
Ця функція з двома змінними і набуває мінімуму в точках, для яких і , тобто
Перепишемо систему у вигляді
(4.14)
Система (4.14) є системою лінійних рівнянь відносно і . Неважко переконатися, що система має єдиний розв'язок і що при знайдених значеннях і сума має мінімум.
Приклад 4.9. Досліджуючи залежність врожайності від кількості внесених добрив (y – врожайність у ц/га, x – кількість добрив у ц/га) одержали такі дослідні дані:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y |
16 |
18 |
21 |
24 |
25 |
Рис. 4.6.
Як бачимо з рисунка, на проміжку залежність від буде досить точно відображатися лінійною функцією . Знайдемо параметри , за методом найменших квадратів.
Складемо для нашої задачі і розв’яжемо систему (4.14). Для цього скористаємося розрахунковою таблицею:
xi |
yi |
|
xiyi |
0 |
16 |
0 |
0 |
1 |
18 |
1 |
18 |
2 |
21 |
4 |
42 |
3 |
24 |
9 |
72 |
4 |
25 |
16 |
100 |
Знаходимо , , , .
Система (4.14) набуває вигляду
або
Розв’язуючи систему, знайдемо, що ; . Отже, залежність врожайності від кількості внесених добрив на 1 га найкраще відображає лінійна функція вигляду .
Нехай тепер є квадратичною функцією. Знайдемо значення коефіцієнтів , , , при яких функція найкраще (за методом найменших квадратів) відображає залежність між і , представлену таблично.
У цьому випадку сума квадратів відхилень значень функції: є функцією трьох змінних , , .
Функція досягає мінімуму в точках, для яких , , . Оскільки
, ,
,
то система рівнянь для визначення коефіцієнтів набуває вигляду:
Перепишемо систему інакше:
(4.15)
Із системи (4.15) коефіцієнти , , визначаються однозначно.