- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
3. Частинні похідні функції
Нехай у деякій області задана функція . У деякій точці , що належить області , її значення . Дамо аргументу приріст , не змінюючи інші змінні. Функція одержить приріст
,
який називається частинним приростом функції по змінній .
Означення 4.9. Частинною похідною по від функції в точці називається границя відношення частинного приросту функції за аргументом до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто
.
Позначається частинна похідна по так: , , , .
З означення частинних похідних випливає, що частинна похідна по будь-якій змінній є звичайною похідною цієї функції по обраній змінній, за умови, що інші змінні є сталими.
Тому обчислення частинних похідних не вимагає нових формул і правил диференціювання, крім тих, які відомі з диференціального числення функції однієї змінної.
Наприклад, для функції частинні похідні мають вигляд:
; .
4. Повний диференціал
Розглянемо неперервну функцію . Дамо аргументам приріст. При цьому функція також одержить приріст, який назвемо повним приростом функції:
, або
Означення 4.10. Повним диференціалом функції двох змінних називається головна частина її приросту і позначається
. (4.4)
Диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту, тобто . Тоді
. (4.5)
Можна стверджувати, що
. (4.6)
Цю формулу застосовують у наближених обчисленнях, заміняючи приріст функції її диференціалом.
Приклад 4.2. Обчислити наближено .
Розв’язання. Для функції , , ; ; ; ; . Тоді:
.
Підставляючи значення, одержуємо
.
На підставі формули (4.6) у наближених обчисленнях оцінюють похибки обчислень.
Приклад 4.3. При вимірі циліндра були отримані результати: , . З якою абсолютною і відносною похибками може бути обчислений об'єм?
Розв’язання. Об'єм циліндра обчислюється за формулою . За умовою задачі , . Отже, похибки змінних: , . Знайдемо частинні похідні й і їхні значення при , :
.
Обчислюємо максимальну абсолютну похибку:
.
Відносну похибку результату, :
.
5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
Нехай – функція, визначена в області . Нехай точка належить області . Розглянемо деякий напрямок , заданий напрямними косинусами кутів, утворених цим напрямком з осями координат. При переміщенні в напрямку точки в точку функція одержить приріст, що називається приростом функції в даному напрямку.
Означення 4.11. Похідною функції за напрямком називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення за умови, що останнє прямує до нуля:
.
В двовимірному випадку маємо:
. (4.7)
Похідна є швидкість зміни функції в заданому напрямку.
Приклад 4.4 Знайти похідну функції в точці за напрямком, що йде від цієї точки до точки .
Розв’язання. Пряма , за напрямком якої потрібно знайти похідну, має напрямний вектор . Знайдемо напрямні косинуси: ; .
Знайдемо частинні похідні заданої функції й обчислимо їх у точці : , , , . Скориставшись формулою (4.7), одержимо: .
Нехай функція диференційована в деякій області і точка належить цій області.
Означення 4.12. Градієнтом функції в точці називається вектор, координатами якого є частинні похідні функції, обчислені в точці .
Градієнт функції позначають символом . Таким чином,
. (4.8)
Використовуючи градієнт функції, похідну за напрямком можна записати у вигляді
, (4.9)
де – одиничний вектор заданого напрямку, координати якого дорівнюють відповідно напрямним косинусам.
Оскільки , де – кут між векторами і , то з формули (4.9) випливає, що похідна за напрямком набуває найбільше значення, якщо вектор має той же напрямок, що і .
Оскільки є швидкістю зміни функції в напрямку , то градієнт цієї функції спрямований в бік найбільшої зміни функції, а довжина цього вектора дорівнює найбільшій швидкості зміни функції.
Можна показати, що спрямовано по нормалі до лінії рівня , що проходить через точку .
Приклад 4.5. Знайти градієнт функції і показати, що він спрямований по нормалі до ліній рівня даної функції.
Розв’язання. Знаходячи частинні похідні, одержимо
.
Кутовий коефіцієнт градієнта . Лінії рівня даної функції задаються рівнянням . Обчислимо кутовий коефіцієнт дотичної до лінії рівня як , для цього знайдемо похідну функції . Продиференціюємо останню рівність, за умови, що – аргумент, а – функція, одержимо , звідки , тобто кутовий коефіцієнт дотичної до лінії рівня дорівнює . Таким чином, , тобто градієнт функції спрямований по нормалі до лінії рівня.