- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
19. Зростання і спадання функції на проміжку
Як відомо, функція називається зростаючою на даному проміжку, якщо для будь-яких двох точок , цього проміжку з умови випливає , тобто меншому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Аналогічно, функція називається спадною на даному проміжку, якщо для будь-яких точок і цього проміжку з умови випливає , тобто меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції.
З цих означень випливає, що функція зростає на проміжку, якщо для будь-яких двох точок і приріст аргументу і приріст функції одного знака на цьому проміжку, і відповідно функція спадає на проміжку, якщо для неї на цьому проміжку приріст аргументу і приріст функції різних знаків.
Необхідна умова зростання і спадання функції.
Якщо диференційована функція зростає на даному проміжку, то в будь-якій точці цього проміжку . Якщо диференційована функція спадає на даному проміжку, то в будь-якій точці x цього проміжку .
Дійсно, нехай, наприклад, функція зростає на даному проміжку. Розглянемо на ньому довільну точку . Дамо приріст . Тоді відповідний приріст функції одного знака з , отже . Переходячи в цій нерівності до границі при , одержуємо .
Аналогічно доводиться необхідна умова спадання функції на проміжку.
Геометрично тлумачення теореми означає, що в кожній точці графіка зростаючої функції дотична утворює гострий кут з віссю , а в кожній точці графіка спадної функції дотична утворює тупий кут з віссю .
Достатня умова зростання і спадання функції.
Нехай диференційована функція на деякому проміжку. Якщо в кожній точці x даного проміжку , то функція зростає на цьому проміжку. Якщо в кожній точці даного проміжку , то функція спадає на цьому проміжку.
Нехай, наприклад, на даному проміжку . Візьмемо на цьому проміжку дві будь-які точки і . Тоді за теоремою Лагранжа:
,
де точка лежить між точками і .
Оскільки , то знаки різниць і однакові, тобто функція на даному проміжку зростає.
Аналогічно розглядається випадок, коли . Інтервали монотонності неперервної функції розділяють точки, в яких похідна дорівнює або нулю, або нескінченності, або не існує (критичні точки). Точки, в яких похідна дорівнює нулю ще називають точками стаціонарності функції. Для розривної функції, крім зазначених точок, інтервали монотонності можуть розділяти і точки розриву функції.
На рис. 3.7 інтервали монотонності розділені точками , , , , причому в точці функція не визначена, у точці похідна дорівнює нулю, у точці похідна не існує, у точці похідна дорівнює нескінченності.
Рис. 3.7.
Виходячи зі сказаного, можна сформулювати такий порядок дослідження функції на монотонність:
- знайти область визначення функції;
- знайти похідну функції;
- знайти критичні точки.
- критичними точками область визначення функції розбити на проміжки і досліджувати знак на кожному з проміжків.
Говорять, якщо на проміжку , то це проміжок зростання, якщо ж , то це проміжок спадання.
Приклад 3.18. Знайти інтервали монотонності функції .
Розв’язання. Функція визначена на всій числовій прямій, крім точки , тобто її область визначення складається з інтервалів . Похідна функції дорівнює нулю при , тобто . Розв’язуючи рівняння, одержимо дві стаціонарні точки . Похідна не існує при . Одержали точки: , , , що розбивають область визначення функції на проміжки , , , . Знак похідної на кожному проміжку визначимо за значенням похідної в деякій, довільно обраній точці проміжку. Наприклад, знак похідної на проміжку визначимо за її значенням в точці: : , отже на цьому проміжку функція зростає. Провівши аналогічні дослідження, одержимо, що на проміжках і похідна функції від'ємна, отже тут функція спадає; на проміжку похідна функції додатня, значить тут функція зростає.
Схематично результат дослідження зображено на рис. 3.8.
Рис. 3.8.