- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
Друга достатня умова екстремуму.
Нехай функція визначена і двічі диференційована в точці і її околі і при цьому . Тоді, якщо , функція в точці має мінімум, якщо ж , функція в точці має максимум.
Доведемо це твердження, використовуючи означення другої похідної:
( за умовою).
Нехай , тоді . При (ліворуч від точки ) різниця , з чого випливає, що . При (праворуч від точки x0) різниця , отже . Як бачимо, при переході через точку перша похідна змінює знак з від'ємного на додатний, значить у точці функція має мінімум.
Аналогічно можна показати, що якщо , то функція має в точці максимум.
Дана достатня умова дозволяє швидко знаходити гладкі екстремуми функції, якщо обчислення проміжків монотонності необов'язкове. Особливо ця умова полегшує дослідження екстремальних значень у прикладних задачах.
Третя достатня умова екстремуму.
Нехай і непарне число, функція визначена і разів диференційована в околі точки . Тоді, якщо
,
то, функція в точці має мінімум при , максимум при .
21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді на цьому відрізку функція набуває найбільшого і найменшого значень. Будемо припускати, що на даному відрізку функція має скінченну кількість критичних точок. Якщо найбільшого значення функція набуває всередині відрізка , то очевидно, що це значення буде одним з максимумів функції, якщо їх декілька – найбільшим максимумом. Найбільшого значення функція може набувати і на одному з кінців відрізка.
Те саме можна сказати і про найменше значення функції: воно досягається або на одному з кінців відрізка, або в деякій внутрішній точці відрізка, що є точкою мінімуму.
Звідси випливає алгоритм обчислення найбільшого і найменшого значень функції на відрізку .
1. Перевірити, чи належить відрізок області визначення функції.
2. Знайти всі критичні точки функції і вибрати ті з них, що належать відрізку .
3. Обчислити значення функції в обраних критичних точках і на кінцях відрізку.
4. З усіх отриманих значень функцій вибрати найбільше і найменше.
Приклад 3.21. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .
Розв’язання. Дана функція визначена для будь-якого дійсного . Її похідна
.
Критичні точки визначимо, розв’язавши рівняння . Корені цього рівняння , , . Перший корінь не належить заданому відрізку, тому обчислимо значення функції в точках , і на кінцях відрізка. Одержимо
Порівнюючи ці значення, бачимо, що найменше значення функції , а найбільше значення функції .
22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
Нехай функція визначена в точці і двічі диференційована в її околі.
Означення 3.6. Графік функції називається випуклим у точці , якщо в деякому околі цієї точки графік розташований нижче дотичної, проведеної в точці , і увігнутим, якщо графік розташований вище дотичної.
Рис. 3.15.
Будемо називати криву випуклою (увігнутою) на деякому проміжку, якщо вона випукла (увігнута) у кожній точці цього проміжку.
Означення 3.7. Точка називається точкою перегину графіка функції, якщо в цій точці крива змінює випуклість на увігнутість чи навпаки.
На рисунку 3.15 такою точкою є точка .