- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
7. Похідна складної функції
Нехай , , причому область зміни другої функції входить в область визначення першої функції. Тоді є складною функцією незалежної змінної , де – проміжна змінна.
Нехай функція має похідну по незалежній змінній , а функція має похідну в точці , що відповідає точці .
Доведемо, що
. (3.8)
Дамо приріст , тоді функція одержить приріст і одержить приріст .
Запишемо тотожність і знайдемо його границю при . Якщо , то і , оскільки має похідну, а значить і неперервна в точці . Отже або , що і було потрібно довести.
Наприклад, якщо , то . Тоді
.
8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
Логарифмічне диференціювання полягає в тому, що функцію попередньо логарифмують, а потім обчислюють її похідну.
Нехай функція має похідну при деякому значенні і нехай вона при цьому значенні відмінна від нуля. Маємо і застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержуємо:
, звідки . (3.9)
Зауваження. Похідна функції дорівнює , тобто тому ж самому виразу, що одержимо, якщо опустимо знак модуля у виразі . Розглянемо вираз і візьмемо похідну від цього логарифма формально; тоді одержимо . Тому, при обчисленні похідних зазначеним прийомом можна формально логарифмувати функцію, не піклуючись про те, додатня вона чи від'ємна, але піклуючись лише про те, щоб не оберталася в нуль. Якщо , то логарифмічне диференціювання неможливе.
Розглянемо степеневу функцію , де . При будь-якому , відмінному від нуля, , , тобто
.
При маємо , при одержимо .
Для показникової функції , , , . Отже,
.
Поклавши , одержимо
.
Показниково-степеневою називається функція вигляду . Нехай і – функції, що мають похідні в точці , причому . Обчислимо похідну функції . Логарифмуючи, одержимо
Тоді: , , або звідки
, (3.10)
тобто похідна показниково-степеневої функції дорівнює сумі похідних від цієї функції, обчислених як від степеневої і як від показникової окремо.
Приклад 3.6. Обчислити похідну функції .
Розв’язання. Для цієї функції . Обчислимо похідну останньої рівності: або
, звідки .
9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
Нехай функція монотонна і має похідну , відмінну від нуля. Обернена їй функція має похідну в точці відповідному розглянутому значенню .
Теорема 3.3. Похідні обернених функцій обернені за величиною, тобто
. (3.11)
Дійсно, запишемо відношення у вигляді , де , оскільки функція за умовою монотонна. Перейдемо до границі, за умови, що , при цьому також прямує до нуля в силу неперервності диференційованої функції: , що і було потрібно довести.
Покажемо, що .
Дійсно, для функції , . Знаємо, що , звідки на підставі теореми 3.3 одержимо
. (3.12)
З означення функції випливає, що , за цією умовою, , виходить, .
Тому .
Аналогічно можна довести, що
. (3.13)
Для функції , .
За теоремою 3.3 , , звідки
. (3.14)
Аналогічно . (3.15)
10. Таблиця похідних
Наведемо таблицю похідних з одержаних формул для складної функції , , .
1. .
2. .
3. , , .
4. , .
5. , .
6. , ,
, .
7. , ,
, .
Приклад 3.7. Знайти похідні функцій:
а) ;
б) .
Розв’язання. У випадку а) .
У випадку б)