- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
Якщо функція визначена в деякій області , то її частинні похідні у свою чергу будуть функціями багатьох змінних, визначеними в тій же області . Будемо називати їх частинними похідними першого порядку. Частинні похідні від частинних похідних першого порядку якщо вони існують, називають частинними похідними другого порядку від функції в цій точці і позначають, наприклад, у випадку функції двох змінних так:
; ;
; .
Так для функції ; , ; , , , .
Частинні похідні третього, четвертого і т.п. порядків вводяться аналогічно.
Частинна похідна будь-якого порядку, узята по різним змінним, наприклад, , , , і т.п. називається змішаною.
Очевидно, що для функції двох змінних можна визначити дві частинні похідні першого порядку, чотири частинні похідні другого порядку, вісім – третього і взагалі частинних похідних -го порядку.
Для функції одержуємо:
, , , , , , , і т.п.
Порівнюючи між собою значення змішаних похідних функції, бачимо, що ; ; , тобто змішані частинні похідні даної функції, що відрізняються лише послідовністю зроблених диференціювань, рівні між собою.
Означення 4.13. Значення диференціалу від першого диференціалу називається другим диференціалом і позначається .
Аналогічно можна ввести поняття диференціалу -го порядку як диференціалу від диференціалу -го порядку. Якщо змінні – незалежні, то:
;
.
Якщо аргументи є диференційованими функціями змінних , то
.
7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
Будемо говорити, що функція має в точці локальний максимум (мінімум), якщо знайдеться такий –окіл точки , в межах якого є найбільшим (найменшим) серед усіх значень цієї функції. Максимум і мінімум функції називають екстремумами функції.
Сформулюємо необхідну умову екстремуму.
Якщо функція має екстремум у точці , то частинні похідні першого порядку цієї функції обертаються в точці екстремуму в нуль, чи не існують.
Точки, в яких перші частинні похідні функції дорівнюють нулю чи не існують, називають критичними точками цієї функції.
Екстремум функції може бути лише в критичних точках, тобто якщо функція не має критичних точок, то вона не має екстремуму. З існування критичних точок ще не випливає існування екстремумів, тобто необхідна умова екстремуму не є достатньою.
Сформулюємо достатню умову екстремуму.
Якщо другий диференціал в критичній точці являє собою додатньо визначену квадратичну форму, то в критичній точці локальний мінімум. Якщо квадратична форма від’ємно визначена, то в критичній точці локальний максимум. Якщо квадратична форма знакозмінна, то в критичній точці локального екстремуму немає.
Зауважимо, що визначати вигляд квадратичної форми можна безпосередньо, а можна використовувати критерій Сильвестра.
Нехай ми маємо квадратичну форму відносно змінних , тобто многочлен другого степеня відносно змінних : , яка визначена своєю матрицею:
.
Тоді в відповідності до критерію Сильвестра квадратичну форму вважають додатньо визначеною, якщо усі головні мінори матриці додатні.
Розглянемо випадок функції двох змінних. Обчислимо значення змішаних похідних другого порядку функції в критичній точці і позначимо , , .
Складемо вираз . Якщо в критичній точці , , то функція має екстремум у точці : мінімум при і максимум при . Якщо в критичній точці , то в точці екстремуму немає.
Якщо ж у критичній точці , то екстремум може бути, а може і не бути, потрібні додаткові дослідження.
Приклад 4.6. Дослідити на екстремум функцію .
Розв’язання. Для даної функції , . Знайдемо критичні точки функції, розв’язавши систему рівнянь
Одержимо три критичні точки: , , .
Обчислимо другі частинні похідні функції: , , .
Для точки , , . Тоді .
Достатня умова не дає відповіді на питання про існування екстремуму в точці . Дослідимо поведінку функції навколо точки. Наприклад, в околі точки на прямій функція набуває вигляду і є від'ємною. На прямій функція набуває вигляду і також є від'ємною. На прямій функція набуває вигляду і є додатною. Отже, в околі точки не виконується визначення ні мінімуму, ні максимуму, отже, в точці екстремуму немає.
Для точки , , , отже, екстремум є. Оскільки , то це мінімум: .
Аналогічно переконуємося в тому, що в точці функція також має мінімум: .