101. 13. Основні теореми про границі функцій

Теорема 2.2. Якщо число є границею функції при , то справедлива рівність , де при – нескінченно мала функція.

Дійсно, якщо , виходить, що для кожного, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа можна вказати таке додатне число , що для всіх , що задовольняють нерівність , виконується умова , тобто функція є нескінченно малою при . Назвемо її . Маємо , звідки .

Легко довести і зворотне твердження: якщо функція представлена у вигляді суми сталої і нескінченно малої при функції, то ця постійна є границею функції при .

Теорема 2.3. Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Припустимо, що при функція має дві границі і , причому . Але тоді в силу теореми 2.2 і , де , – нескінченно малі при функції. Віднімемо отримані рівності: або . Це можливо тільки при , оскільки при .

Теорема 2.4. Якщо , , то:

а) ;

б) ;

в) , якщо .

Сформулювати теорему можна так.

Якщо дві функції мають границі при , то границя їхньої алгебраїчної суми дорівнює алгебраїчній сумі границь цих функцій, границя добутку дорівнює добутку границь, границя частки дорівнює частці границь заданих функцій, за умови, що границя знаменника не дорівнює нулю при .

Доведемо теорему для випадку “а”.

Дійсно, оскільки , , то на підставі теореми 2.2. і , де , – нескінченно малі при .

Але тоді , де – стала, – нескінченно мала при функція. Отже, відповідно до теореми 2.2 число є границею функції , або . Що і потрібно було довести.

Аналогічно доводиться теорема для випадку “б”.

Для випадку “в” дріб представимо у вигляді

,

де функція є нескінченно малою при .

Тому .

Наслідок. Сталі множники можна виносити за знак границі, тобто

.

Теорема 2.5. Якщо в околі точки x₀ виконуються нерівності

і , то і .

Для доведення розглянемо – довільну, що збігається до , послідовність значень аргументу функцій і .

Відповідні послідовності і значень цих функцій мають границю, рівну , тобто , при .

Використовуючи нерівності, дані в умовах теореми, можна записати

.

Звідси , значить, .

Зауваження. Усі теореми про границі вірні також і у випадку, якщо є одним із символів , , .

102. 14. Обчислення границь функцій

На підставі теорем про границі, а також властивостей нескінченно малих і нескінченно великих функцій можна зробити наступний висновок: щоб обчислити границю функції при , необхідно у функцію підставити замість його граничне значення і обчислити результат.

Наприклад,

.

Оформляють запис так: .

При обчисленні границі функції при в знаменнику дробу одержуємо нуль, тоді результат обчислень беруть у квадратні дужки, підкреслюючи символіку записів; тут нуль є символом нескінченно малої. Записують так:

.

Якщо ж у результаті підстановки замість його граничного значення виходять так звані невизначеності , , , , , , , для обчислення границі приходиться проводити перетворення функції, говорять, “звільнятися від невизначеності”.

Зокрема, якщо невизначеність отримана при обчисленні границі дробово-раціональної чи дробово-ірраціональної функції при , необхідно в чисельнику і знаменнику дробу виділити нескінченно малу і скоротити на неї. Відзначимо, що ділення чисельника і знаменника дробу на нескінченно малу функцію можливо, оскільки це не нуль, а реальна величина, що змінюється так, що її значення можуть бути як завгодно малими.

Приклад 2.7. Обчислити .

Розв’язання. Безпосередня підстановка у функцію граничного значення аргументу приводить до невизначеності вигляду . Вирази чисельника і знаменника містять у собі нескінченно малу :

, .

Тому .

Приклад 2.8. Обчислити .

Розв’язання. Тут безпосередня підстановка у функцію приводить до невизначеності . Щоб виділити в чисельнику нескінченно малу при помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений чисельнику (позбудемося від ірраціональності в чисельнику):

.

Тоді

.

Розповсюджена границя відношення многочленів при прямуванні аргументу до нескінченності, що дає невизначеність :

Тут .

Наприклад, , і т.д.

Невизначеності і приводять до невизначеностей або , перетворивши досліджувану функцію у дріб.

Приклад 2.9. Обчислити .

Розв’язання. Безпосередньою підстановкою замість x граничного значення одержимо невизначеність .

Перетворимо досліджувану функцію, помноживши і розділивши її на суму , одержимо

.

Тоді