- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
2. Границя послідовності
Означення 2.1. Число A називається границею числової послідовності , якщо такий, що виконується нерівність . Границю позначають: ( є скорочення латинського слова limes, що означає “границя”).
Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.
Нерівність можна записати у вигляді
або .
Інтервал називають –околом точки A. Виходячи з цього, можна сформулювати геометричний зміст границі послідовності: число є границею послідовності , якщо для будь-якого, довільно обраного –околу точки A, знайдеться такий номер , що всі наступні елементи послідовності (з номерами ) потраплять у –окіл точки . Поза інтервалом виявиться лише скінченна кількість елементів послідовності.
Означення 2.2. Послідовність називають нескінченно великою, якщо такий, що виконується нерівність . В цьому випадку пишуть: .
Якщо такий, що виконується нерівність (відповідно ), то пишуть: (відповідно ). В усіх цих випадках кажуть, що послідовність має нескінченну границю, рівну , або .
Приклад 2.3. Довести, що .
Розв’язання. Покажемо, що для кожного, як завгодно малого, наперед заданого числа можна підібрати такий номер члена послідовності, що для всіх наступних номерів виконується умова . Розв’язуючи цю нерівність, одержуємо або ; тобто якщо прийняти за , то для всіх наступних членів послідовності означення границі виконується.
З означення границі послідовності випливає, що зі збільшенням порядкового номера члени послідовності необмежено близько наближаються до своєї границі, прямують до неї, тоді пишуть: при , .
Очевидно, якщо послідовність має границю, то вона обмежена. Слід зазначити, що зростаюча, обмежена зверху послідовність має границю. Аналогічно спадна, обмежена знизу послідовність також має границю.
Приклад 2.4. Довести збіжність послідовності: .
Розв’язання. Застосовуючи формулу бінома Ньютона, одержимо:
.
Оскільки при переході від до число доданків, які всі додатні, зростає і, крім того, кожен доданок збільшується. Можна записати: при , то . Враховуючи, що кожна з дужок менша одиниці і , маємо:
.
Таким чином . Тобто послідовність зростає і обмежена зверху, тобто має границю. Цю границю позначають . По більш точним оцінкам можна одержати:
.
Число 2,7182… називають неперовим числом на ім’я шотландського математика Джона Непера (1550-1617), а символ для його позначення ввів Л. Ейлер в 1728р. Можна також довести, що число є ірраціональним. Воно відіграє в математичному аналізі особливу роль.
Означення 2.3. Послідовність називають фундаментальною, якщо такий, що виконується нерівність .
Приклад 2.5. Довести, що фундаментальна.
Розв’язання. Оцінимо модуль різниці:
.
З останньої нерівності маємо , . За можна взяти, наприклад, .
Теорема 2.1. (Критерій Коші збіжності послідовності). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.
Означення 2.4. Послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо .
Прикладами нескінченно малих послідовностей можуть бути: , .
Наведемо властивості нескінченно малих послідовностей:
1) алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю;
2) добуток нескінченно малої і обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю;
3) добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю;
4) для того, щоб число було границею послідовності необхідно і достатньо щоб її загальний член можна було записати в вигляді , де – нескінченно мала послідовність.
За допомогою останньої властивості можна встановити наступні властивості збіжних послідовностей:
1) якщо , то ;
2) якщо послідовності та – збіжні, то послідовності також збіжні, і ;
3) якщо послідовності та – збіжні, то послідовність також збіжна, і ;
4) якщо послідовність – збіжна і , то послідовності також збіжна, і ;
5) якщо послідовності та – збіжні і , то послідовність також збіжна, і .
Наведемо твердження, які корисні при знаходженні границь:
1) якщо , то . Якщо , то ;
2) ;
3) якщо і , то .