110. 2. Поняття похідної

Нехай функція визначена в точці і в її околі.

Проробимо такі операції. Зафіксуємо точку і обчислимо відповідне значення функції . Додамо аргументу відмінний від нуля приріст і обчислимо значення функції . Обчислимо приріст функції . Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу . Спрямуємо до нуля й обчислимо границю

. (3.1)

Ця границя, якщо вона існує, називається похідною функції в точці .

Означення 3.1. Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні приросту аргументу до нуля.

Похідна функції в точці позначається символом або , що введені французьким математиком Лагранжем або символами , , що введені німецьким математиком Лейбніцом. Символ читається “де ігрек по де ікс”. Іноді пишуть , підкреслюючи, що похідна обчислюється по аргументу .

Як випливає з означення, похідна функції в точці є число, що залежить від заданого значення . Розглядаючи похідну в різних точках , будемо одержувати різні її значення.

Таким чином, похідна є функцією змінної , визначеної в області визначення функції або в частині цієї області.

Приклад 3.3. Обчислити похідну функції за означенням.

Розв’язання. Зафіксуємо довільне значення аргументу , тоді . Обчислимо приріст функції

.

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу . Спрямуємо приріст аргументу до нуля й обчислимо границю:

.

Оскільки точка – довільна з області визначення, то одержали формулу похідної даної функції, вірну для будь-якого значення аргументу з її області визначення. Пишуть так:

.

Економічний зміст похідної. Виходячи з прикладів, розглянутих в §1, похідна функції об’єму зробленої продукції за часом є продуктивність праці в момент .

Фізичний зміст похідної. , тобто похідна за часом від функції, що визначає закон руху, дорівнює миттєвій швидкості руху точки.

Для довільної функції похідна характеризує швидкість зміни функції в даній точці залежно від зміни аргументу.

111. 3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої

Розглядаючи задачу про тангенс кута нахилу дотичної до кривої (рис. 3.1), одержимо, що , тобто .

Рис. 3.1.

Звідси випливає геометричний зміст похідної:

Похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції, проведеної в точці з абсцисою .

Якщо похідна функції в точці дорівнює нулю, це означає, що дотична до кривої в цій точці паралельна вісі (рис. 3.2, а). Якщо похідна обертається в нескінченність, це значить, що дотична до кривої в цій точці перпендикулярна до (рис. 3.2, б), оскільки .

Коли похідна функції в точці не існує, то дотичну побудувати взагалі неможливо (їх існує безліч).

Рис. 3.2.

Для запису рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дану точку з заданим кутовим коефіцієнтом у вигляді

,

де , .

Тому рівняння дотичної має вигляд

. (3.2)

Пряма, що проходить через точку дотику перпендикулярно до дотичної, називається нормаллю до кривої в цій точці.

Оскільки кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих обернені за величиною і протилежні за знаком, то кутовий коефіцієнт нормалі буде:

.

Отже, рівняння нормалі

. (3.3)

Приклад 3.4. Записати рівняння дотичної до лінії в точці з абсцисою .

Розв’язання. Рівняння дотичної запишемо у вигляді (3.2). Тут , , .

Підставляючи і в рівняння (3.2), одержимо або – рівняння дотичної.