- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
17. Основні теореми диференціального числення
Теорема Лагранжа (теорема про скінченні прирости). Якщо функція неперервна на відрізку і диференційована у всіх внутрішніх точках цього відрізка, то усередині відрізка знайдеться хоча б одна така точка , що
. (3.24)
Дана теорема має просту геометричну інтерпретацію (рис. 3.5).
Рис. 3.5.
.
Теорема Лагранжа може бути представлена у вигляді
, (3.25)
тобто якщо функція неперервна на відрізку і всередині нього в кожній точці має похідну, то приріст функції на цьому відрізку дорівнює добутку приросту аргументу на значення похідної в деякій точці , яка знаходиться між точками і .
Для довільного відрізка теорему Лагранжа можна записати у вигляді:
, де . (3.26)
Теорема Ролля (теорема про нулі похідної). Якщо функція неперервна на відрізку , має похідну в кожній внутрішній точці відрізка, причому на кінцях відрізка , то всередині відрізка знайдеться хоча б одна така точка , що похідна функції в цій точці буде дорівнювати нулю.
Справді, для функції виконуються умови теореми Лагранжа, значить, всередині відрізка знайдеться така точка , що . Оскільки , то .
Рис. 3.6.
Зокрема, якщо припустити, що , то теорему Ролля можна сформулювати так: між двома коренями функції знаходиться хоча б один корінь похідної, за умови, що функція неперервна на відрізку і в інтервалі існує її похідна.
Теорема Коші. Якщо кожна з двох диференційованих функцій і неперервні на відрізку , мають похідні в кожній внутрішній точці цього відрізка, причому , то всередині відрізка знайдеться хоча б одна така точка , що виконується рівність:
.
Зауважимо, що теорема Лагранжа є частинним випадком теореми Коші при .
18. Правило Лопіталя
Нехай для функцій і виконується умова: . Тоді відношення втрачає зміст при , але границя відношення при може існувати. Наступна теорема, яку називають правилом Лопіталя, полегшує задачу обчислення цієї границі.
Правило Лопіталя.
Якщо функції і диференційовані в околі точки , неперервні в точці , відрізняється від нуля в точці і , то границя відношення функцій дорівнює границі відношення похідних цих функцій, якщо остання (скінченна або нескінченна) існує:
. (3.27)
Розглянемо відрізок , для якого виконуються умови теореми. Запишемо відношення у вигляді і застосуємо до різниць чисельника і знаменника теорему Лагранжа. Для функції знайдеться така точка , що . Для функції знайдеться така точка , що .
Тоді .
Нехай при відношення прямує до деякої границі. Оскільки точки і лежать між і , то при одержимо, що і , і отже, відношення прямує до тієї ж границі. Таким чином, при :
.
Якщо виявиться, що і нескінченно малі і диференційовані при , то правило Лопіталя можна застосовувати повторно.
Приклад 3.14. Обчислити .
Розв’язання. Функції і поблизу точки диференційовані, неперервні в точці , , тому можна застосувати правило Лопіталя.
Покажемо, що правило Лопіталя справедливо і за умови, якщо – дорівнює , , .
Нехай, наприклад, умови теореми виконуються і .
Поклавши , одержимо, що при і тому, якщо існує границя відношення при , то існує і границя відношення функцій при і ці границі рівні. Теж саме можна сказати і про відношення їхніх похідних.
Функції , поблизу точки y=0 задовольняють умовам доведеної теореми, тому
,
звідки одержимо, що
.
Можна також показати, що правило Лопіталя можна застосувати й у випадку, якщо , тобто
.
Приклад 3.15. Обчислити .
Розв’язання. Для функції і при умови теореми виконуються, тому
Розкриття невизначеностей вигляду і можна привести до розглянутих вище невизначеностей, перетворивши досліджувану функцію на дріб.
Приклад 3.16. Обчислити границю .
Розв’язання. Безпосередньою підстановкою замість його граничного значення переконаємося в наявності невизначеності . Перейдемо до дробу, розділивши функцію на функцію , одержимо
Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності вигляду , , . Такі невизначеності зустрічаються при обчисленні границі показниково-степеневої функції, тобто функції вигляду .
Для обчислення границі такої функції при досить знайти границю при функції . Тоді, якщо , то .
Приклад 3.17. Обчислити .
Розв’язання. Нехай , тоді і (див. приклад 3.16).
Отже, .