88. 7. Потужність континуума

Означення 1.24. Множину називають числовим континуумом, а його потужність – потужністю континуума. Потужність множини дійсних чисел позначають .

Відомо, що (теорема Кантора). Доведення випливає з доведення незчисленності множини точок відрізку . З теореми випливає, що і існують ірраціональні числа. Також відомо, що .

Вже на початку розвитку теорії множин виникло питання, чи існують множини проміжної потужності між зчисленними множинами і множинами потужності континуума, і було зроблено припущення, яке називають гіпотезою континуума, що проміжні потужності відсутні. В 1963 році американець Коен (I. Cohen) довів, що ця і протилежна гіпотези окремо не є протиріччям прийнятій в теорії множин аксіоматиці, а тому гіпотеза континуума не може бути ні доведена, ні заперечена.

Вправи

1.1. Нехай , , . З яких елементів складаються множини: , , , , , , , .

1.2. Зобразити на координатній площині множини , де , .

1.3. Довести тотожності:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ;

є) ;

ж) ;

з) ; і) ;

к) ; л) ;

м) ; н) .

1.4. З'ясувати яке з включень виконано або , або , якщо:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) .

1.5. Знайти , , якщо

а) , б) , в) .

1.6. Встановити взаємно-однозначну відповідність між множинами:

а) і ; б) і ;

в) і ;

г) і ;

д) і ;

є) множиною натуральних чисел і множиною парних натуральних чисел;

ж) і ;

з) - множина точок кола радіуса і ;

і) – множина точок круга, – множина точок квадрата.

1.7. Знайти потужності множин:

а) ;

б) множина точок площини з раціональними координатами;

в) множина кіл з раціональними координатами центру ( , ) і радіусом ;

г) множина точок відрізка , у яких у десятковому записі відсутня цифра 5;

д) .

1.8. Знайти точну верхню та точну нижню грані множин:

а) ; б) ;

в) - множина раціональних розв’язків нерівності ;

г) .

Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної

89. 1. Числові послідовності

Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність число , тоді говорять, що задано числову послідовність або .

Загальний член послідовності є функцією натурального аргументу , тобто . Надаючи різні значення , одержимо послідовність значень функції:

Наприклад, для послідовність має вигляд:

Відмітимо, що послідовність задана, якщо зазначений спосіб одержання її членів.

Виходячи з означення, послідовність завжди має нескінченну кількість елементів: будь-які два різних її елемента відрізняються принаймні своїми номерами, яких нескінченна кількість.

Послідовність називається обмеженою, якщо множина її значень обмежена, тобто існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Геометрично це означає, що всі члени послідовності належать інтервалу .

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо множина її значень обмежена зверху, тобто всі її члени менше деякого числа , тобто нерівність виконується , і обмеженою знизу, якщо множина її значень обмежена знизу, тобто існує таке число , що для всіх членів послідовності .

Так послідовність із загальним членом є обмеженою; послідовність натуральних чисел обмежена знизу; послідовність цілих від'ємних чисел обмежена зверху.

Послідовність, яка не є обмеженою (зверху, знизу) називається необмеженою (зверху, знизу).

Приклад 2.1. Довести обмеженість послідовності:

.

Розв’язання. З очевидних нерівностей

,

випливає, що , тобто послідовність обмежена.

Приклад 2.2. Довести необмеженість послідовності:

.

Розв’язання. Сформулюємо заперечення означення обмеженості послідовності: .

Розглянемо . Якщо , то і , , звідки .

Для візьмемо , наприклад , тоді , звідки випливає, що послідовність необмежена.

Верхню (нижню) грань множини значень елементів послідовності називають верхньою (нижньою) гранню даної послідовності і позначають ( ).

Будемо називати послідовність зростаючою, якщо і спадною, якщо .

Зростаючі і спадні послідовності називають монотонними. Наприклад, послідовність спадна, послідовність зростаюча, а послідовність не є монотонною.