- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
1. Основні поняття
У багатьох практичних задачах доводиться користатися величинами, що залежать не від однієї незалежної змінної, а від декількох змінних.
Означення 4.1. – вимірним координатним простором називається множина усіляких впорядкованих сукупностей , де . Кожну таку сукупність будемо називати точкою – вимірного координатного простору, тобто , де – координати точки .
Означення 4.2. Координатний простір називається – вимірним евклідовим простором , якщо між двома будь-якими точками та визначена відстань:
.
Означення 4.3. Нехай кожному числу ставиться в відповідність точка , тоді ряд точок , , ..., , ..., називається послідовністю точок . Послідовність точок позначають .
Означення 4.4. Якщо кожній точці з множини точок ставиться в відповідність за певним законом деяке число , то кажуть, що на множині задано функцію або . При цьому множину називають областю задання функції.
Той факт, що змінна є функцією змінних записують у вигляді
(4.1)
для явного завдання функції, і
(4.2)
для неявного завдання функції.
Приклад 4.1. Знайти область визначення функцій:
а) ; б) .
Розв’язання. Для випадку а) функція визначена для всіх значень , , при яких дріб існує. Очевидно, що це ті і , при яких . Отже, область визначення даної функції зображується точками площини , що не належать прямій (рис.4.1).
Для випадку б) функція визначена при або . Графічно область визначення даної функції зображується точками круга (рис.4.2).
|
|
Рис. 4.1. |
Рис. 4.2. |
Означення 4.5. Лінією рівня функції називається множина усіх точок, в яких функція набуває стале значення.
Рівняння лінії рівня має вигляд
, . (4.3)
Надаючи в цьому рівнянні різні значення сталої , будемо одержувати різні лінії рівня.
Для функції лініями рівня є концентричні кола , (рис.4.3). При коло вироджується в точку.
Для функції лініями рівня будуть прямі , (рис.4.4).
|
|
Рис. 4.3. |
Рис. 4.4. |
Лінії рівня використовуються при складанні географічних карт (лінії рівня – лінії, в яких висота точок земної поверхні над рівнем моря однакова), при складанні метеорологічних карт (лінії рівня – ізобари, ізотерми, ізохори) і т.д.
2. Границя і неперервність
Для визначення границі функції введемо поняття околу точки .
Означення 4.6. –околом точки будемо називати множину точок, віддалених від точки на відстань, що менше числа , тобто .
Означення 4.7. Число називається границею функції при , якщо для кожного, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа знайдеться такий -окіл точки , що для будь-якої точки з цього околу виконується нерівність .
Позначають або .
Усі теореми про границі, доведені для функції однієї змінної поширюються і на функції багатьох змінних.
Наприклад, , .
Зауважимо, що слід розрізняти –кратні границі і повторні границі, тобто
і .
Означення 4.8. Функція називається неперервною в точці , якщо виконується рівність , тобто значення неперервної функції в точці і її границя при збігаються.
На випадок функції багатьох змінних переносять властивості неперервних функцій однієї змінної: сума, різниця, добуток неперервних у точці функцій неперервні; частка двох неперервних у точці функцій неперервна, якщо .
Аналогічно узагальнюється властивість неперервності складної функції.
Функція , неперервна в кожній точці деякої області , називається неперервною в цій області.
При вивченні функції однієї змінної розглядалися основні властивості функцій, неперервних на відрізку. Ці властивості можна узагальнити на випадок функції багатьох змінних.
До основних властивостей функції, неперервної в замкнутій обмеженій області , віднесемо такі властивості.
1. Функція обмежена в області .
2. Функція досягає свого найменшого і найбільшого значень.
3. Функція набуває хоча б в одній точці області будь-яке значення, що лежить між і .