Задачі на екстремум.
Розглянемо характерний приклади, де для більшої наочності параметрам надано числові значення.
Приклад 3.27. Припустимо, що в короткостроковому плані виробнича функція залежить тільки від чисельності персоналу фірми і має вид
,
де – обсяг продукції, a – число працюючих. Потрібно визначити чисельність персоналу, при якій випуск досягає максимального значення.
Розв’язання. Насамперед знаходимо стаціонарні точки, для чого обчислюємо похідну і прирівнюємо її до нуля:
.
Розв’язуючи квадратне рівняння,
знаходимо:
,
.
Обчислюємо другу похідну:
.
При
маємо
.
Таким чином, в цій точці є мінімум. Це
природно: важко очікувати випуску якоїсь
продукції, якщо немає жодного працюючого.
Для другої точки:
.
Тому в цій точці є максимум. Відповідний
випуск продукції
.
Встановимо деякі загальні співвідношення, властиві виробничій функції. Раніше відзначалося, що в простих випадках виробнича функція пов'язує випуск продукції з чисельністю персоналу :
.
Там же було введене поняття середньої продуктивності праці
.
Цікаво з'ясувати, при якому значенні середня продуктивність праці стає максимальною.
Для цього знайдемо стаціонарні точки, використовуючи правило диференціювання відношення двох функцій
.
Згадуючи, що за означенням гранична
продуктивність праці
,
умову стаціонарності можна переписати
у вигляді:
.
Звідки остаточно маємо
,
тобто в стаціонарних точках гранична
продуктивність праці дорівнює середньої
продуктивності праці.
Приклад 3.28. Залежність річних витрат управління запасами від розміру партії замовлення має вигляд:
,
де
– розмір замовленої партії;
– витрати виконання замовлення;
– річна потреба в товарі;
– закупівельна ціна одиниці товару;
– витрати зберігання, що виражаються
як доля від закупівельної ціни одиниці
товару.
Визначити економічний розмір замовлення , що мінімізує річні витрати управління запасами.
Розв’язання.
Маємо
,
,
– формула Уілсона,
,
,
тоді
– точка мінімуму.
Визначимо економічний розмір замовлення,
якщо
грош. од.,
од.,
грош. од.,
.
Тоді
(од.) – оптимальне замовлення.
Приклад
3.29. Відомо, що крива попиту має вигляд
,
(
,
),
де
– кількість товару,
– ціна одиниці товару. Повні витрати
виробництва становлять
,
де
– сталі витрати;
– питомі змінні витрати. Визначити, при
якому обсязі виробництва
прибуток буде найбільший.
Розв’язання. Прибуток можна отримати як різницю між доходом та витратами, а доход – як ціну помножену на кількість:
,
Функцію прибутку дослідимо на екстремум:
,
звідки
,
,
(оскільки
),
тобто
– точка максимуму.
Вправи
3.1. Знайти похідні функцій за означенням:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
; з)
; і)
.
3.2. Знайти
похідну функції
у точці
.
3.3.–3.41. Знайти похідні функцій.
3.3.
. 3.4.
.
3.5.
. 3.6.
.
3.7.
. 3.8.
.
3.9.
. 3.10.
.
3.11.
. 3.12.
.
3.13.
. 3.14.
.
3.15.
. 3.16.
.
3.17.
. 3.18.
.
3.19.
. 3.20.
.
3.21.
. 3.22.
.
3.23.
.
3.24.
.
3.25.
.
3.26.
.
3.27.
.
3.28. а)
;
б)
;
в)
.
3.29. а)
;
б)
;
в)
.
3.30.
. 3.31.
.
3.32.
. 3.33.
.
3.34.
. 3.35.
.
3.36.
. 3.37.
.
3.38.
.
3.39.
.
3.40.
.
3.41. а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
.
3.42.–3.43. Знайти похідну параметрично заданої функції.
3.42. а)
б)
3.43. а)
б)
3.44. Знайти похідні другого порядку для функцій:
а)
; б)
.
3.45. Для функції
обчислити приріст функції і диференціал
при
,
.
3.46. Знайти диференціали функцій для довільних аргументу і приросту:
а)
; б)
; в)
.
3.47. Обчислити приблизно:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; є)
; ж)
; з)
.
3.48. Знайти похідну вказаного порядку:
а)
,
,
; б)
,
;
в)
,
; г)
,
;
д)
,
; є)
,
;
ж)
,
; з)
,
;
і)
,
; к)
,
;
3.49. Знайти диференціал указаного порядку:
а)
,
; б)
,
; в)
,
.
3.50. Довести тотожності:
а)
,
;
б)
,
.
3.51. Довести нерівності:
а)
,
; б)
,
;
в)
,
; г)
,
;
д)
,
.
3.52–3.66. Обчислити границі, використовуючи правила Лопіталя.
3.52.
. 3.53.
.
3.54.
. 3.55.
.
3.56.
. 3.57.
.
3.58.
.
3.59.
.
3.60.
. 3.61.
.
3.62.
. 3.63.
.
3.64.
. 3.65.
.
3.66.
.
3.67.–3.70. Знайти інтервали монотонності і екстремуми функції.
3.67.
. 3.68.
.
3.69.
. 3.70.
.
3.71. Знайти найменше і найбільше значення функції на проміжку:
а)
,
;
б)
,
.
3.72. Потрібно виготовити шухляду з кришкою, об'єм якої дорівнює 72 см3, причому сторони основи повинні відноситись як 1:2. Які повинні бути розміри всіх сторін, щоб повна поверхня була найменшою?
3.73. Через дану точку
провести пряму так, щоб сума довжин
додатних відрізків, що відтинаються
нею на координатних осях, була найменшою.
3.74–3.76. Знайти проміжки випуклості, вгнутості і точки перегину графіка функції.
3.74.
. 3.75.
.
3.76.
.
3.77–3.79. Знайти асимптоти графіків функцій.
3.77.
. 3.78.
. 3.79.
.
3.80.–3.82. Дослідити функції і побудувати їхні графіки:
3.80. а)
; б)
;
в)
; г)
.
3.81. а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; є)
.
3.82. а)
. б)
3.83. а)
; б)
.
3.84. Лісівники знайшли, що твірна стовбура європейської сосни досить добре описується рівнянням
,
де
,
y – радіус поперечного переріза
стовбура, H – висота стовбура, a
– радіус стовбура в його середині.
Дослідити функцію y(x) і переконатися, що її властивості відповідають наочним уявленням про деревний стовбур (функція спадає, спочатку увігнута, потім опукла). Побудувати схематичний графік функції.
3.85. Написати розклад по цілим невід’ємним степеням змінної до членів указаного порядку включно наступних функцій:
а)
до
; б)
до
;
в)
до
; г)
до
;
д)
до
.
3.86. Використовуючи формулу Тейлора, обчислити границі:
а)
; б)
;
в)
.
3.87. Залежність
між витратами виробництва
і обсягом продукції
,
що випускається, виражається функцією
(грош. од.). Визначити середні і граничні
витрати, якщо обсяг продукції 10 од., 20
од., 100 од.
3.88. Нехай
вартість
виготовлення
одиниць продукції задається формулою
.
Яка маргінальна вартість при
?
3.89. Розрахувати еластичність даних функцій та знайти значення показника еластичності для заданих :
а)
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
;
г)
,
,
;
д)
,
,
;
є)
,
,
.
3.90. Крива повних
витрат
.
Визначити: а) криву граничних витрат;
б) розрахувати коефіцієнти еластичності
при заданих значеннях
,
де
– обсяг виробництва, якщо:
1)
,
,
;
2)
,
,
;
3)
,
,
;
4)
,
,
;
5)
,
,
;
6)
,
,
;
7)
,
,
.
3.91. Функції попиту і пропозиції ціни задаються відповідно рівняннями:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
.
Знайти ціну рівноваги, еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни, зміну прибутку у відсотках при збільшенні ціни на 3% від рівноваги.
3.92. Для наступних функцій попиту знайти таке значення , при яких попит є еластичним:
а)
; б)
;
в)
.
3.93. Дана функція
повних витрат виробництва. Знайти обсяг
виробництва, при якому середні витрати
будуть мінімальні.
а)
;
б)
;
в)
.
3.94. Обсяг
продукції
,
що виробляється підприємством впродовж
робочого дня, може бути задано формулою:
,
,
де
– робочий день у годинах. Знайти: а)
продуктивність праці, швидкість і темп
її зміни; б) при якому значенні
після початку роботи продуктивність
праці буде найменшою, найбільшою?
3.95. Нехай функція витрат і прибуток при виробництві одиниць товару мають вигляд:
а)
,
б)
,
,
.
Чистий прибуток:
.Визначити
оптимальне для виробника значення
випуску
.
3.96. Визначити
оптимальне для виробника значення
випуску
,
при умові, що весь товар реалізується
по фіксованій ціні
за одиницю і відома функція витрат
.
Знайти при цьому прибуток:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
;
д)
,
;
є)
,
.
3.97. Функція
витрат має вигляд:
.
На початковому етапі фірма організує
виробництво таким чином, щоб мінімізувати
середні витрати
.
В подальшому на товар встановлюється
ціна 4 грош. од. за одиницю. На скільки
одиниць товару фірмі потрібно збільшити
випуск?
3.98. Відомо, що
прогнозована ціна акції має вигляд:
,
де
– початкова ціна,
– відносний прибуток корпорації,
–частка прибутку на виплату дивідендів,
– найбільш ефективна ставка, по якій
можливо реінвестувати дивіденди.
розглядаються дві акції з початковою
ціною 1 грош. од. і характеристиками:
,
,
.
відомо, що
.
Інвестор продав першу акцію і купив
другу. При яких значеннях
ця операція принесе найбільший прибуток?