- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
3. Застосування послідовностей в економіці
Розглянемо загальноприйняті в ринковій економіці алгоритми нарахування відсотків залежно від терміну позички, типу відсотків, схеми їхнього нарахування.
Нехай спочатку була сума грош. од. Процентна ставка – відсотків річних. Тоді після років одержимо наступні суми грошей.
1. Прості відсотки (у кожен часовий період на відсоток, що додається, нарахування не відбуваються):
.
2. Складні відсотки (відсоток доходу нараховується на всі грошові накопичення):
.
З останньої формули легко одержати:
, , .
Операція знаходження початкового внеску називається дисконтуванням. Значення іноді називають сучасним значенням для . Різниця називається дисконтом.
3. Нехай відсотки нараховуються рівномірно разів на рік. Тоді одержимо:
.
4. Нехай відсотки нараховуються неперервно, тобто . Тоді одержимо границю послідовності:
.
Цю формулу можна використовувати для будь-яких розрахунків з помилковими відсотками.
4. Поняття функції
При вивченні будь-якого процесу (фізичного, хімічного, біологічного, економічного та інших) в оточуючому нас реальному світі нам доводиться зустрічатися з тими чи іншими величинами, які їх характеризують та змінюються.
Залежно від розглянутих умов одні з цих величин приймають сталі значення, інші – змінні.
Величина називається сталою, якщо в процесі дослідження її чисельне значення не змінюється. Наприклад, довжина кола обчислюється за формулою , де число не залежить від розмірів кола.
Величина, що набуває в даних умовах різні числові значення, називається змінною.
Іноді сталу величину розглядають як змінну, усі значення якої збігаються.
Часто в одному і тому процесі бере участь кілька змінних величин, причому зміна чисельного значення однієї з них приводить до зміни значень інших.
У такому випадку говорять, що між зазначеними величинами існує функціональна залежність.
Означення 2.5. Змінна називається функцією від змінної , якщо кожному значенню з деякої множини за певним законом ставиться у відповідність єдине значення з множини . Тоді записують
, (2.1)
де – закон, за яким кожному ставиться у відповідність значення . Тобто можна казати, що задано функцію , де .
Змінну x називають незалежною змінною, або аргументом функції, множину називають областю визначення функції.
Інакше кажучи, область визначення функції – сукупність усіх значень аргументу, при яких функція існує, тобто можна обчислити її значення. Область визначення функції позначають . Тобто .
Змінну y називають залежною змінною або функцією, множину називають областю значень функції. Множину значень функції позначають . Тобто
Функціональну залежність називають функцією.
Запис означає, що береться частинне значення функції при . Наприклад, для функції при маємо частинне значення функції
Означення 2.6. Графіком функції називається множина точок координатної площини , координати яких задовольняють рівність, що задає функцію. Так, графіком функції є парабола.