- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
15. Еластичність функції
В багатьох економічних задачах потрібно обчислити відсоток приросту (відносний приріст) залежної змінної, відповідно відсотку приросту незалежної змінної. Це приводить до поняття еластичності функції (іноді її називають відносною похідною).
Коефіцієнт еластичності показує відносну зміну досліджуваного економічного показника під дією одиничної відносної зміни економічного чинника, від якого він залежить при незмінних інших чинниках, що впливають на нього.
Нехай величина залежить від , і ця залежність описується функцією . Зміна незалежної змінної приводить згідно з функціональною залежністю до зміни змінної . Постає питання, як виміряти чутливість залежної змінної до змінної . Одним із показників впливу однієї змінної на іншу є похідна
,
яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу . Однак в економіці цей показник незручний тим, що він залежить від вибору одиниць виміру.
Наприклад, якщо розглянемо функцію попиту на цукор від його ціни , то побачимо, що значення похідної при кожній ціні (що вимірюється в грошових одиницях)
залежить від того, чим вимірюється попит на цукор у кілограмах або в центнерах. У першому випадку похідна вимірюється в кг/грош. од., у другому – у ц/грош. од., відповідно її значення при тому самому значенні ціни буде різним залежно від одиниць виміру розміру попиту. Тому для виміру чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці вивчають зв'язок не абсолютних змін змінних та ( і ), а їхніх відносних або процентних змін.
Введемо поняття еластичності. Нехай дана функція . Надамо аргументу приріст . Величину будемо називати відносним приростом аргументу.
Функція отримає приріст
.
Величину будемо називати відносним приростом функції.
Складемо відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу:
.
Це співвідношення показує у скільки разів відносний приріст функції більше відносного приросту аргументу.
Його можна записати в такому вигляді:
.
Якщо функцію можна диференціювати, то
.
Одержаний результат називають еластичністю функції відносно аргументу .
Означення 3.4. Еластичністю функції відносно аргументу називається границя відношення відносного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.
Еластичність позначається символом . Отже
. (3.20)
Еластичність чисельно дорівнює приблизному відсотковому приросту функції (підвищення або зниження), відповідному приросту незалежної змінної на 1%.
Приклад 3.11. Обчислити еластичність функції .
Розв’язання. За означенням еластичності маємо:
.
Якщо, , то еластичність функції дорівнює числу . Це означає, якщо зросте на 1%, функція також зросте на %.
Наведемо основні властивості еластичності.
1). Еластичність – безрозмірна величина, значення якої не залежить від того, в яких одиницях вимірюються величини та : .
.
2). Еластичність суми двох функцій та може бути знайдена за формулою:
.
3). Еластичність добутку двох функцій та , що залежать від одного і того ж аргументу , дорівнює сумі еластичностей: . Тобто:
.
4). Еластичність частки двох функцій та , дорівнює різниці еластичностей:
.
5). Еластичності взаємно обернених функцій – взаємно обернені величини: .
.
Наприклад, еластичність величини попиту за ціною обернена еластичності ціни за величиною попиту .