84. 3. Числові множини

Важливим класом множин, які часто зустрічаються, є клас так званих скінченних множин.

Щоб сформулювати означення скінченної множини, дамо спочатку означення натурального числа.

Означення 1.7. Множина називається множиною натуральних чисел, якщо:

а) один із її елементів позначено символом 1;

б) кожному елементу поставлено у відповідність один елемент цієї множини, який позначають і називають елементом, слідуючим за елементом ;

в) ;

г) якщо , , , то ;

д) нехай множина має властивості: , якщо , то , тоді множина складається з усіх натуральних чисел; .

Наведене аксіоматичне означення множини натуральних чисел належить Пеано (G. Peano), тому властивості а)-д) називають аксіомами Пеано.

Елементи множини позначають через 1, 2, 3, ... (після кожного натурального числа написане наступне за ним).

Означення 1.8. Множина називається множиною, що складається із елементів, , якщо існує відповідність елементів множини елементам множини .

Означення 1.9. Якщо для множини існує таке натуральне , що число її елементів дорівнює , то ця множина називається скінченною множиною. Будь-яка множина, яка не є скінченною, називається нескінченною множиною.

Пуста множина за означенням є скінченною множиною, а число її елементів дорівнює нулю.

Означення 1.10. Об’єднання множини натуральних чисел, множини чисел, протилежних натуральним, і нуля називається множиною цілих чисел і позначаються .

Означення 1.11. Числа виду , де , називають раціональними. Множина раціональних чисел позначається .

Між двома різними раціональними числами завжди знайдеться раціональне число.

Означення 1.12. Множина називається множиною дійсних чисел, а її елементи дійсними числами, якщо виконано наступні умови, які називаються аксіоматикою дійсних чисел:

1)

а) ,

б) ,

в) ,

г) ;

2)

а) ,

б) ,

в) ,

г) ;

3) ;

4) аксіоми порядку:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ;

5) ;

6) ;

7) і , .

Елементи множини дійсних чисел можуть бути поставлені у відповідність точкам числової вісі. Множина є щильною на числовій прямій, тобто між двома різними дійсними числами завжди знайдеться дійсне число. Також можна стверджувати, що між двома різними дійсними числами завжди знайдеться раціональне число.

Означення 1.13. Ірраціональні числа, це дійсні числа, які не є раціональними числами, тобто .

Між двома різними ірраціональними числами завжди знайдеться ірраціональне число, раціональне число.

85. 4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин

Означення 1.14. Множина називається обмеженою зверху (знизу), якщо (відповідно ). Число називають верхньою (нижньою) гранню множини .

Множина, яка обмежена зверху і знизу називається обмеженою.

Означення 1.15. Елемент називають найбільшим або максимальним (найменшим або мінімальним) елементом множини , якщо (відповідно ). Вводять такі позначення: , .

Означення 1.16. Найменша серед верхніх граней множини називається точною верхньою гранню і позначається . Тобто , якщо виконуються такі умови: 1) ; 2) .

Означення 1.17. Найбільша серед нижніх граней множини називається точною нижньою гранню і позначається . Тобто , якщо виконуються такі умови: 1) ; 2) .

Лема. Будь-яка обмежена підмножина множини дійсних чисел має єдину точну верхню та єдину точну нижню грані.