§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

где ; ; .

Система (1) называется однородной, если и неоднородной, если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля.

Рассмотрим однородную систему

(2) ; .

Очевидно, что все результаты, полученные в §5, для общих систем, справедливы и для однородных систем линейных уравнений, однако здесь имеет место некоторая специфика. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что однородная система (2) всегда совместна, так как ранг её расширенной матрицы , очевидно равен рангу матрицы Впрочем, это видно и непосредственно: однородная система заведомо имеет решение , называемое тривиальным решением.

Выясним, при каких условиях, система (2) имеет так же нетривиальное решение.

Теорема 6.1. Для того чтобы однородная система (2) с квадратной матрицей имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы равнялся нулю.

Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть система (2) имеет нетривиальное решение. Докажем, что Предположим обратное, пусть . Тогда по теореме 2.1 §2 главы 2 система (2) имеет единственное тривиальное решение, что противоречит условию. Cледовательно .

Докажем теперь достаточность. Пусть . Тогда , где расширенная матрица системы (2), а - число неизвестных. Тогда, согласно теореме 5.2 главы 2, система (2) имеет бесконечное множество решений, что означает существование нетривиальных решений.

6.Декартовы координаты на прямой.

Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.

Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом и какая – концом. Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке обозначается .

Величиной направленного отрезка называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси, и со знаком «минус», если направление противоположно направлению оси.

Если начало совпадают, то такой направленный отрезок называется нулевым, а величина его считается равной нулю.

Возьмём на произвольной оси некоторую точку , которую будем называть началом координат. Кроме того укажем единицу масштаба.

Пусть - произвольная точка на оси. Декартовой координатой точки называется величина направленного отрезка .

Тот факт, что точка имеет координату , обозначается следующим образом .

Теорема 1.1. Если координаты точек лежащих на одной оси равны соответственно, то величина направленного отрезка равна .

Теорема 1.1 доказывается перебором всевозможных расположений точек на оси. Для примера рассмотрим следующее взаиморасположение точек .

Т.к. направление отрезка совпадает с направлением оси, величина равна длине отрезка .

. С другой стороны из рисунка (1) видно, что . Теорема 1.1 доказана.

Следствие. Расстояние между точками и равно .