45 Билет
Понятие первообразной функции.
Функция
называется первообразной функцией
функции
на интервале
,
если всюду на интервале 
существует
производная 
и эта производная
.
Замечание.
В определении 1.1 интервал
может быть заменён на всю бесконечную
прямую 
,
либо на одну из бесконечных полупрямых
.
Примеры: функция
является первообразной функции 
на интервале 
,
так как всюду на этом интервале 
;
функция 
является первообразной функции
на бесконечной прямой
,
так как в любой точке этой прямой
;
функция 
является первообразной функции 
на бесконечной полупрямой
,
так как 
в каждой точке полупрямой
.
Если функция
является первообразной функции
на интервале
,
то функция 
,
где C– произвольная постоянная, также
является первообразной функции
на интервале, так как 
.
Следующая теорема устанавливает связь между различными первообразными одной и той же функции.
Теорема 1.1.
Если 
и 
– любые две первообразные функции
на интервале
,
то всюду на этом интервале 
,
где C – некоторая постоянная.
Доказательство.
Обозначим через
разность функций
и
.
Тогда в каждой точке интервала
существует 
.
Из теоремы 1.4 главы 7 следует, что 
.
Теорема 1.1 доказана.
Следствие из
теоремы 1.1.
Если
является одной из первообразных функции
на интервале (a,b) , то любая первообразная
функции
на этом интервале имеет вид 
,
где C - некоторая постоянная.
2. Неопределённый интеграл.
Совокупность всех первообразных функции на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом и обозначается символом
Знак
называется
знаком интеграла, выражение 
- подынтегральным выражением, а сама
функция
- подынтегральной функцией,
– переменной интегрирования.
Из приведенного выше следствия непосредственно вытекает, что если является одной из первообразных функции на интервале , то
где C - произвольная постоянная.
3. Основные свойства неопределённого интеграла.
1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
Это равенство непосредственно вытекает из равенства (1):
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
Действительно, если одна из первообразных функции , то
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
.
В самом
деле, так как 
то 
.
Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.
4. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т.е.
где 
.
Действительно,
если
первообразная функции
,
то 
– первообразная функции 
,
так как 
.
Из чего следует, что 
,
где 
.
5. Неопределённый интеграл от суммы или разности двух функций равен соответственно сумме или разности неопределённых интегралов этих функций, т.е.
Действительно,
пусть
и 
первообразные функций
и
соответственно:
Так как
,
то функция 
является первообразной функции 
.
,
где C
Следовательно 
4. Таблица основных интегралов.
Приведённые ниже интегралы принято называть табличными интегралами.
1.
2.
.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
.
9.
10.
11.
12.
.
13.