4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. 
.
Поскольку 
,
для любого n. формула Маклорена (10) имеет
вид:
Где остаточный член имеет вид:
в форме Лагранжа
,
в форме Пеано 
.
.
Так как 
,
то 
то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
3. 
.
Так как 
=
то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
4. 
,
где
- любое действительное число. Так как
,
то формула (10) примет вид
где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
В частном случае,
когда 
,
где n – натуральное число, 
,
следовательно, 
и мы получаем известную формулу Бинома
Ньютона
5. 
.
Так как 
,
.
,
то формула (10) примет вид
где остаточный
член в форме Лагранжа равен
,
43 Билет
Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости.
Пусть
функция
дифференцируема в каждой точке интервала
.
Тогда, как известно, в каждой точке
графика функции 
существует касательная, при этом эта
касательная не параллельна
.
Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно не выше) любой своей касательной.
Справедлива следующая теорема:
Теорема
5.1.
Пусть функция
дважды дифференцируема на интервале
и её вторая производная 
неотрицательна ( сооответственно
неположительна) всюду на интервале
,
тогда график функции
имеет на указанном интервале выпуклость,
направленную вниз (вверх).
Доказательство.
Для определённости рассмотрим случай,
когда вторая производная 
всюду на интервале
.
Пусть
- произвольная точка интервала
.
Нам нужно доказать, что график функции
в пределах интервала
лежит не ниже касательной, проходящей
через точку 
.
Запишем уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке :
Где Y - ордината текущей точки касательной.
Так как функция дважды дифференцируема на интервале , то к функции в окрестности точки можно применить формулу Тейлора:
где
- некоторая точка, заключённая между
и
.
Учитывая, что 
из равенства (2) получим
Сопоставляя
неравенство (3) и равенство (1), мы приходим
к выводу, что 
.
Это неравенство доказывает, что график
функции
всюду в пределах интервала
лежит не ниже касательной, т.е. график
функции
имеет выпуклость, направленную вниз.
Аналогично
доказывается теорема для случая 
.
Теорема 5.2. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (соответственно отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).
Доказательство.
Так как
непрерывна в точке
и 
,
то по теореме 5.2 гл. 5 (об устойчивости
знака непрерывной функции) найдётся
такая окрестность точки
,
в пределах которой вторая производная
положительна (соответственно отрицательна).
Тогда по теореме 5.1, график функции
имеет в пределах этой окрестности
выпуклость направленную вниз
(соответственно вверх).
Теорема 5.2 доказана.