3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
Неопределённость
вида 
можно свести к неопределённостям
и
.
Покажем это на примерах.
П
ример
1. .
Неопределённости
вида 
,
возникают при рассмотрении пределов
.
Эти неопределённости сводятся к
неопределённости
с помощью тождества
41 Билет
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Устанавливаемая в этом параграфе формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.
Теорема 3.1.
(Теорема Тейлора). Пусть функция 
раз дифференцируема
в
некоторой окрестности точки a. Пусть,
далее x - любое значение аргумента из
указанной окрестности, 
.
Тогда между точками a и x найдётся точка
такая, что справедлива следующая формула:
где 
Слагаемое 
называется остаточным членом формулы
Тейлора. Представление остаточного
члена
в виде равенства (2) называется остаточным
членом в форме Лагранжа.
Приведём доказательство теоремы 3.1.
Обозначим через
многочлен относительно x степени n
Многочлен называется многочленом Тейлора степени n для функции .
Обозначим через разность между функцией и многочленом Тейлора, т.е.
Теорема будет доказана, если установить справедливость равенства (2).
Фиксируем любое
значение x из указанной окрестности
точки a. Для определённости будем считать,
что 
.
Обозначим через t переменную величину,
изменяющуюся на отрезке 
и рассмотрим на отрезке 
вспомогательную функцию
где
Функция 
раз дифференцируема в окрестности точки
a, поэтому функция 
дифференцируема в каждой точке t
сегмента
.
Кроме этого:
Таким образом, 
.
Следовательно, функция
удовлетворяет на сегменте
всем условиям теоремы Ролля. Согласно
этой теореме существует точка 
такая, что
Вычислим производную
.
Дифференцируя равенство (5) по
,
найдем:
Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за исключением последних двух, взаимно уничтожаются. Таким образом,
Полагая
в (7) 
и используя равенство (6), получим
откуда
Теорема доказана.
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
Введём
следующее определение: функция
называется бесконечно малой более
высокого порядка, чем 
при
,
если
Тот факт, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем при обозначается следующим образом:
Положим
в формуле Тейлора (1)
.
Тогда
где 
Взяв в
формуле (8) 
получим формула Лагранжа.
.
Покажем,
что если функция 
ограничена в окрестности точки a
, то остаточный член
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем
при
:
так как
функция 
ограничена, а 
бесконечно малая функция при
.
Таким
образом
Формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано.
42 Билет
Формула Маклорена.
Формулу Тейлора,
для случая 
принято называть формулой Маклорена.
Запишем формулу Маклорена для функции
с остаточным членом в форме Лагранжа и
Пеано:
В
форме Лагранжа 
;
В
форме Пеано 
.