39 Билет

Теорема 1.7 (Теорема Коши). Если функции и непрерывны на сегменте , дифференцируемы на интервале , и кроме того производная отлична от нуля всюду на интервале , то существует точка из интервала , такая, что справедлива формула:

называемая формулой Коши

Доказательство. Прежде всего, убедимся, что . Действительно, если бы , то для функции выполнялись бы все условия теоремы Ролля. Тогда по этой теореме существовала бы точка , такая, что , что противоречит условию теоремы 1.6. Итак, и мы можем рассмотреть следующую вспомогательную функцию:

Очевидно, что функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Кроме того

Следовательно, выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому, найдётся точка , такая что

или

Первое правило Лопиталя.

Будем говорить, что отношение двух функций представляет собой при неопределённость вида , если

Раскрыть эту неопределённость, значит вычислить предел (при условии, что этот предел существует).

Справедлива следующая теорема

Теорема 2.1. (Первое правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть далее и производная отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

то существует и предел , причём справедлива формула

Доказательство. Пусть – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к a и состоящая из чисел, отличных от a. Доопределеним функции и в точке a, считая их равными нулю в этой точке, т.е. . Тогда, очевидно, функции и непрерывны на сегменте, ограниченном точками и дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента. Таким образом, для функций и на этом сегменте выполнены все условия теоремы Коши, согласно которой внутри этого сегмента найдется точка такая, что

.

Т .к. , то получим

Заметим, что последовательность сходится к числу a, т.к. и . Тогда из равенства (3) находим:

Так как существует, то правая часть равенства (4) имеет при предел, равный . Следовательно, при существует предел и левой части равенства (4), причем

Т.к. – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к a, то отсюда заключаем, что существует и .

Теорема доказана.

Замечание 1. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применить повторно. Т.е.

Замечание 2. Теорема 2.1 остаётся верной и в случае, когда . Действительно, пусть например и существует (конечный или бесконечный). Обозначим через t величину ; Тогда при x и = . Применяя к функциям и правило Лопиталя, получим

.

40 Билет

2. Второе правило Лопиталя.

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределённость типа , если пределы функции при равны или -

Теорема 2.2. (Второе правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может самой точки a. Пусть далее или и всюду в указанной окрестности точки . Тогда если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула

Теорема 2.2 приводится без доказательства.