35 Билет
Производная
функции 
.
Д
ля
приращения
функции
в произвольной точке 
справедливо равенство:
Тогда при любом разностное отношение имеет вид
.
По
определению производной 
.
В силу первого замечательного предела
и непрерывности функции 
в точке x
найдём
2.
Производная функции 
.
Для любого значения аргумента ,
Итак,
.
3
.
Производная функции 
.
Т
ак
как 
,
то по правилу дифференцирования частного,
в любой точке
в которой 
,
.
Итак,
в любой
точке 
4.
Производная функции 
.
П
рименяя
правило дифференцирования частного к
функции 
,
получим, что в любой точке действительной
прямой, в которой 
.
Итак,
в любой
точке 
Производная логарифмической функции.
Рассмотрим
функцию
,
где 
.
Пусть 
- фиксированная точка. Тогда для любого
достаточно малого
разностное отношение имеет вид
.
Тогда по определению производной
Введём
обозначение 
.
Очевидно, что
при
.
Тогда из
равенства (5) найдём
Заметим,
что в силу второго замечательного
предела, существует предел 
и этот предел равен e.
Тогда из непрерывности функции
в точке e
следует, что
.
Итак,
для любых и .
6. Производная показательной функции.
Функция
является обратной к функции
,
определённой на полупрямой
.
Для функции в окрестности любой точки y полупрямой выполнены все условия. Тогда в силу этой теоремы функция дифференцируема в любой точке и для её производной справедлива формула
.
Из
последнего равенства и соотношения
,
получим
для любой
точки
.
В частности, при 
,
получим 
.
Производная
функции 
.
Функция
является обратной к функции 
,
определённой на интервале 
.
Для функции
в окрестности любой точки y
интервала
, выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл.
6, тогда функция
имеет производную в любой точке
и эта производная в точке x
равна
Корень
мы взяли со знаком «+», так как на интервале
.
Учитывая
в равенстве (9), что 
,
получим
для всех
x
из интервала 
.
8.
Производная функции 
.
Функция
и
является обратной к функции
,
определённой на интервале
.
Для функции
.
В силу теоремы 2.2 §2 гл. 6 функция
имеет в любой точке x
интервала
производную и эта производная находится
по формуле
Корень взят со знаком «+», так как на
интервале 
.
Учитывая,
что 
из равенства (11) получим
для всех x из интервала .
9.
Производная функции 
.
Функция
определена на бесконечной прямой
и является обратной к функции , определённой на интервале . Согласно теореме 2.2 о производной обратной функции в каждой точке x бесконечной прямой существует производная функции и эта производная вычисляется по формуле
Учитывая,
что 
,
из равенства (13) найдём
для любой .
10.
Производная функции 
.
Функция
является обратной к функции
,
определённой на интервале
.
Из теоремы 2.2 о производной обратной
функции следует, что функция
имеет производную в каждой точке
бесконечной прямой
,
и эта производная находится по формуле
.
Учитывая
в последнем равенстве, что 
,
получим
для любого .
11. Производная степенной функции. Рассмотрим функцию , где - любое вещественное число. Эта функция определена для любого значения аргумента .
Заметим,
что функцию
можно представить как суперпозицию
логарифмической и показательной функций
.
Тогда 
.
Учитывая,
что 
,
из последнего равенства найдём
для любого .
12. Таблица производных простейших элементарных функций.
Запишем теперь все вычисленные производные простейших элементарных функций в виде таблицы.
1. 
.
2. 
.
В частности
.
3. 
.
В частности .
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7
.
8. 
.
9. 
10. 
.
11. 
11. 
.
13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
Пусть
функция
положительна и дифференцируема в данной
точке x.
Тогда сложная функция 
в силу теоремы 2.1 §2 гл. 6, также
дифференцируема в точке x,
причём для производной этой сложной
функции по аргументу
справедлива формула
Выражение (16) принято называть логарифмической производной функции в данной точке x.
Логарифмическая производная может быть использована для вычисления производных некоторых функций, не являющихся элементарными.
В качестве
примера рассмотрим степенно-показательную
функцию вида 
,
где функции
и
дифференцируемы в данной точке x,
при этом 
.
Рассмотрим
функцию
.
Очевидно, функция 
дифференцируема в точке x..
Тогда
C другой стороны
.
Тогда
Из равенств (17) и (18) находим
.
В частности
для функции 
будем иметь
