33 Билет

Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.

Теорема 3.1. Если функции и дифференцируемы в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в точке x, причём справедливы формулы:

Доказательство. Пусть . Обозначим через приращения функций в данной точке x, отвечающие приращению аргумента . Тогда

Считая, что и поделив обе части равенства (2) на , получим

Из равенства (3) находим .

Пусть теперь . Сохраняя за и тот же смысл, что и выше, получим, что

.

Из последнего равенства находим

,

или

Считая, что и поделив обе части равенства (4) на , получим

Пусть теперь . Тогда

Из дифференцируемости функций и в точке x следует существование пределов

Учитывая последние равенства, из равенства (5), получим, .

Пусть, наконец , где в данной точке x Т.к. дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. Тогда по теореме об устойчивости знака непрерывной функции для всех достаточно малых , и мы можем записать, что

. Добавляя и вычитая в числителе слагаемое , получим

Таким образом

Пусть теперь . В силу дифференцируемости функции и в точке x существуют пределы , , . Из существования этих пределов и условия следует равенство

Теорема 3.1 доказана.

Следствие из теоремы 3.1. Если для функций и выполнены в данной точке x те же предположения, что и в теореме 3.1, то в этой точке x справедливы следующие соотношения для дифференциалов:

Докажем для примера последнее из равенств (7).

34 Билет

Дифференцируемость сложной функции.

Теорема 2.1. Пусть функция дифференцируема в точке t, а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в указанной точке t, при этом

Доказательство. Придадим аргументу t функции в данной точке t произвольное отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение функции .

Приращению в свою очередь отвечает приращение функции в точке . Т.к. функция дифференцируема в указанной точке , то её приращение в этой точке может быть представлено в виде

где .

Поделив равенство (2) на , получим

Из дифференцируемости функции в точке t следует, что отношение имеет предел при , равный .

Докажем теперь, что функция является бесконечно малой при т.е. .

Из дифференцируемости функции в точке t следует её непрерывность в этой точке, тогда . Т.е. при . Поэтому

Пользуясь определением производной и последним равенством, найдем

или . Теорема 2.1 доказана.

Замечание Теорема 2.1 последовательно переносится на сложную функцию, являющуюся суперпозицией трёх и большего числа функций. Например, для сложной функции являющейся суперпозицией трёх функций имеем

2. Дифференцируемость обратной функции.

Т еорема 2.2. Пусть функция возрастает (убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке x, и её производная в этой точке отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки определена обратная функция , причём указанная обратная функция дифференцируема в точке и справедлива формула

Доказательство. Т.к. функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки x, то существует обратная функция , которая определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Придадим аргументу этой обратной функции в указанной точке y произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение обратной функции в соответствующей точке , причём в силу строгой монотонности обратной функции указанное приращение . Тогда мы можем записать

Из равенства (7) и определения производной имеем

Заметим, что в силу непрерывности обратной функции в точке y, , т.е. при .

Т.к. , , то . Следовательно .

Учитывая последнее равенство в равенстве (8), получим

.

Теорема доказана.

3. Инвариантность формы первого дифференциала.

, является универсальным и остаётся справедливым не только в случае, когда аргумент x является независимой переменной, но и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной t. Это свойство дифференциала функции называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.

Пусть аргумент x дифференцируемой функции является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной t. Тогда функцию y можно рассматривать как сложную функцию вида аргумента t. Т.к. аргумент t является независимой переменной, то дифференциалы функций и представимы в виде

По правилу дифференцирования сложной функции находим

Подставляя равенство (10) в первое из равенств (9), получим . Учитывая в последнем равенстве второе из равенств (9), получим для выражение .

Инвариантность формы первого дифференциала dy доказана.

Замечание. Из универсальности представления (11) вытекает другая, эквивалентная формулировка свойства инвариантности формы первого дифференциала: производная дифференцируемой функции равна отношению дифференциала этой функции dy к дифференциалу её аргумента dx, т.е. как в случае, когда аргумент x является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной t

О тношение , стоящее в правой части равенства (12) может быть использовано для обозначения производной функции по аргументу x