19 Билет

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число , что для любого справедливо неравенство .

При этом число называется верхней гранью (нижней гранью) множества .

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества , называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом . Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом .

Число называется точной верхней гранью (точной нижней гранью) ограниченного сверху (снизу) множества , если выполнены следующие два требования: 1) . 2) .

В этом определении требование 1) означает что число является одной из верхних (нижних) граней множества . Требование 2 означает, что если уменьшить (увеличить) число на произвольное положительное число 𝜀, то число перестает быть верхней (нижней) гранью множества .

** Теорема 2.1. Если непустое множество вещественных чисел ограничено сверху (снизу), то существует единственное число , которое является точной верхней гранью (точной нижней гранью) этого множества

Множество вещественных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. если существуют вещественные числа и , такие, что для любого справедливы неравенства .

Из теоремы 2.1 следует, что у каждого непустого ограниченного множества существуют точная нижняя и точная верхняя грани.

Теорема 2.1. Если непустые, ограниченные множества и при этом , то ,

20 Билет

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вещественное число Тогда множество вещественных чисел

называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа будем называть элементами последовательности (1), – общим элементом или членом последовательности, - его номером. Последовательность будем обозначать символом .

суммой последовательностей (1) и (2), последовательность - разностью последовательностей (1) и (2), последовательность - произведением последовательностей (1) и (2) и, наконец, последовательность - частным последовательностей (1) и (2). Очевидно, при определении частного последовательностей (1) и (2) нужно требовать .

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число , такое, что для всех элементов справедливо неравенство

При этом число называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности .

Последовательность , не являющаяся ограниченной, называется неограниченной, т.е. последовательность называется неограниченной, если для любого положительного вещественного числа найдётся хотя бы один элемент , удовлетворяющий неравенству

Сходящиеся последовательности и их свойства.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что последовательность является бесконечно малой. При этом число называется пределом последовательности .

Тот факт, что число является пределом сходящейся последовательности обозначается следующим образом

.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число , что для любого положительного найдётся такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство

При этом число называется пределом последовательности .

Запишем неравенство (11) в виде

Теорема 3.5. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Доказательство. Пусть числа и являются пределами сходящейся последовательности . Теорема 3.5 будет доказана, если мы покажем, что . Из определения сходящейся последовательности следует, что последовательности и являются бесконечно малыми. Обозначим элементы через , а элементы черлез . В силу теоремы 3.1 последовательность является бесконечно малой последовательностью, т.е. для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство .

Заметим, что . Тогда из неравенства (13) следует, что для любого Теорема доказана.

Теорема 3.6. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность сходится, и число является пределом последовательности . . Тогда последовательность является бесконечно малой последовательностью. Из теоремы 3.3 следует, что последовательность ограничена. Т.е. существует такое положительное число , что справедливо неравенство

для всех номеров . Тогда . Учитывая неравенство (14), получим, что для всех номеров справедливо неравенство . Что означает ограниченность последовательности . Теорема доказана.

Теорема 3.7. Пусть и - пределы сходящихся последовательностей и соответственно. Тогда сходятся также последовательности , , , при этом , . Если и , то сходится и последовательность , при этом .

Теорема 3.8. (о предельном переходе в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству

, то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Теорема 3.9. Пусть даны последовательности , и , причём для всех , начиная с некоторого номера . И пусть последовательности и имеют один и тот же предел . Тогда последовательность сходится и её придел равен