15 Билет

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки плоскости, называемой фокусом, и от данной, не проходящей через фокус прямой, называемой директрисой.

Введём на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ox проходила через фокус F, перпендикулярно директрисе, а начало координат O находилось в середине отрезка DF, где D - точка пересечения оси Ox и директрисы. При этом выберем то направление оси Ox, которое совпадает с направлением направленного отрезка

Пусть – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от этой точки до фокуса, через d – расстояние от точки до директрисы, а через p – расстояние от фокуса до директрисы. Величина называется параметром параболы.

Из определения параболы следует, что точка лежит на параболе тогда и только тогда, когда

Очевидно, в выбранной системе координат фокус F имеет координаты , поэтому

Пусть Q - основание перпендикуляра, опущенного из точки M на директрису, тогда точка Q будет иметь координаты . Расстояние d - от точки M до директрисы может быть найдено по формуле

Заметим, что для всех точек , лежащих на данной параболе . Действительно, если абсцисса точки меньше нуля то

, следовательно, такая точка не лежит на параболе. Учитывая это замечание, из равенства (22) получим

Подставляя в равенство (19) в место r и d соответствующие выражения (21) и (22), получим

Возведём обе части уравнения (24) в квадрат.

или

Проверим, что уравнение (25), полученное из уравнения (23) путём возведения в квадрат, не приобрело «лишних» корней. Для этого покажем, что для любой точки , координаты которой удовлетворяют уравнению (25), выполнено равенство (20). Действительно, из уравнения (25) следует, что , тогда для точки с неотрицательной абсциссой, . Подставим значение из уравнения (25) в выражение (20) для r, получим

Т.к. , из последнего равенства получим . Т.е. r=d. Следовательно, если координаты точки удовлетворяют уравнению (25), то эта точка лежит на параболе. Уравнение (25) называется каноническим уравнением параболы. Так как уравнение (25) содержит только во второй степени, то парабола симметрична относительно оси Ox. Следовательно, достаточно рассмотреть только ту часть параболы, которая находится в верхней полуплоскости. Для этой части , поэтому разрешив уравнение (25) относительно , получим

Из равенства (26) можно сделать следующие выводы:

Так как , то левее оси Oy нет ни одной точки параболы.
Если x=0, то y=0. Т.е. начало координат лежит на параболе.
При возрастании x, возрастает и y, причем, если , то и .
Точка o называется вершиной параболы, ось Ox – осью параболы. Число , т.е. параметр параболы выражает расстояние от фокуса до директрисы. Выясним, как влияет параметр параболы на её форму. Для этого возьмём значение , тогда из уравнения (26) найдём . Таким образом, на параболе мы имеем две точки и , симметричные относительно оси . Расстояние между ними равно . Это расстояние тем больше, чем больше . Следовательно, параметр характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.
Парабола уравнение которой , расположена слева от оси ординат. Вершина этой параболы находится в начале координат, осью симметрии является ось .
Уравнение является уравнением параболы, вершина которой находится в начале координат, а осью симметрии является ось . Эта парабола лежит выше оси .
Уравнение определяет параболу, вершина которой находится в начале координат, осью симметрии является ось , при этом сама парабола находится ниже оси .