5. Кручення

5.1. Розрахунок вала на міцність і жорсткість

На рис. 5.1, а показано сталевий вал постійного перерізу. Модуль пружності при зсуві G = 8·10⁴МПа. Допустиме напруження при крученні [] = 60 МПа. Допустимий відносний кут закручування [] = 0,25 град/м.

Потрібно:

1. визначити значення скручувального моменту ;

2. побудувати епюру крутних моментів М_к;

3. за умовою міцності знайти діаметр d на кожній ділянці вала;

1. побудувати епюру відносних кутів закручування і провести перевірний розрахунок за умовою жорсткості.

Дані для розрахунку:

т = 2 кНм; а = 20 см;

Розв’язання.

1. Визначаємо значення скручувального моменту m₀:

, –т – т + m₀ – 2m = 0,

звідси m₀ = 4m = 4 2 = 8,0 кНм.

2. Розрахуємо значення скручувального моменту на кожній ділянці вала і будуємо епюру М_к.

На ділянці I М_к = – m = – 2 кНм;

На ділянці II М_к = –m – m = –2m = – 4 кНм;

На ділянці III М_к = – m – m + 4m = 2m = 4 кНм.

Рис. 5.1

За цими даними будуємо епюру М_к (рис. 5.1, б).

3. За умовою міцності знаходимо діаметр вала d на кожній ділянці.

Умова міцності вала круглого поперечного перерізу при крученні має вигляд:

. (5.1)

Для круглого поперечного перерізу полярний момент опору визначається за формулою:

. (5.2)

Із формули (5.1) випливає, що:

. (5.3)

Із співвідношення (5.2) маємо:

(5.4)

На ділянці І: М_к = –2 кНм. Отже, за формулою (5.3) маємо:

см³.

Із виразу (5.4) знаходимо:

d = 1,721 =5,54 cм.

Беремо d = 5,6 см = 56 мм.

На ділянці ІІ: М_к = –4,0 кНм.

Отже,

.

d = 1,721 .

Обираємо d = 7,0 см = 70 мм.

На ділянці ІІІ: М_к = 4,0 кНм. Отже, діаметр вала на третій ділянці потрібно взяти таким, як і на другій ділянці, тобто d = 70 мм.

4. Будуємо епюру відносних кутів закручування і проводимо перевірку за умовою жорсткості, яка для вала круглого поперечного перерізу має вигляд:

.

Значення  визначаємо за формулами:

На ділянці І: М_к = –2,0 кНм; d = 56 мм. Отже,

;

оскільки 1 радіан = 57,3°,

=1,48 град/м < [] = 1,5 град/м,

тобто умова жорсткості на ділянці І виконується.

На ділянці ІІ М_к = – 4,0 кНм, d = 70 мм. Отже,

тобто умова жорсткості виконується.

На ділянці III: М_к = 4,0 кНм; d = 70 мм. Отже,  = 1,21 град/м. За цими даними будуємо епюру (рис. 5.1, в). Умова жорсткості на всіх ділянках вала виконується.

Методичні рекомендації

Під час вивчення кручення необхідно звернути увагу на закони розподілення напружень у разі розтягання (або стискання) і зсуву. Доцільно особливу увагу приділити побудові епюр крутних моментів, напружень і деформації — кутів закручування.

Необхідно запам’ятати, що при крученні виникає деформація чистого зсуву, а напружений стан – плоский. Потрібно вміти визначати головні напруження при крученні, встановлювати їх зв’язок з дотичними напруженнями, які виникають у поперечних перерізах вала. При виведенні формул для визначення напружень і деформації слід звернути увагу на використання спрощувальних гіпотез.

Вивчаючи питання про кручення бруса прямокутного поперечного перерізу, необхідно запам’ятати, що в цьому випадку поперечні перерізи не залишаються плоскими. Потрібно ознайомитися з формулами для визначення напружень у серединах сторін прямокутника: розглянути окремий випадок вузького прямокутного перерізу.

У процесі вивчення вільного кручення тонкостінних стержнів необхідно запам’ятати, що бруси відкритого і замкнутого профілів розраховуються по-різному. Слід ознайомитися з формулами для визначення максимального дотичного напруження і кутів закручування для відкритих перерізів, які складаються з вузьких і довгих прямокутників. Необхідно навчитися виводити подібні формули для бруса, який має поперечний переріз у формі замкнутого тонкостінного профілю.

Гвинтові пружини розраховують здебільшого на кручення. Потрібно навчитися виводити формули для найбільшого дотичного напруження і деформації пружини.