Методичні рекомендації

Нерозрізні балки розраховують за допомогою рівнянь трьох моментів. За наявності навантаження на консолі нерозрізної балки в ліву частину рівняння трьох моментів необхідно підставити значення згинального моменту на крайній опорі, враховуючи його знак: момент вважається додатним, якщо він згинає консоль випуклістю вниз. У випадку затиснення на крайній опорі потрібно приєднати до балки додатковий прогин, записати рівняння трьох моментів у звичайній формі й потім виконати спрощення, тобто прирівняти до нуля довжину додаткового прогону і момент на крайній його опорі. Цей спосіб дає можливість розрахувати за допомогою рівнянь трьох моментів і однопрогінні балки із затисненими кінцями.

Запитання для самоперевірки

1. Які балки називаються нерозрізними?

2. Як визначається ступінь статичної невизначуваності нерозрізної балки?

3. Який вигляд має рівняння трьох моментів для нерозрізної балки сталої жорсткості та який фізичний зміст цього рівняння?

4. Як обчислюються згинальні моменти і поперечні сили у будь-якому перерізі нерозрізної балки (а також опорні реакції балки) після визначення невідомих опорних моментів?

5. Як за допомогою рівнянь трьох моментів розраховують нерозрізну балку із затисненими кінцями?

6. Як при складанні рівнянь трьох моментів враховують навантаження, яке прикладене на консолі нерозрізної балки?

7. В якій послідовності виконують розрахунок нерозрізної балки?

9. Балка на пружній основі

9.1. Застосування методу скінченних різниць до розрахунку балок на пружній основі

Основою методу скінченних різниць є дискретизація заміна неперервної області сукупністю ізольованих точок, причому розв’язання рівнянь слід шукати лише в цих точках. Похідні апроксимуються скінченними різницями і розв’язання звичайного диференціального рівняння зводиться до розв’язання системи алгебраїчних рівнянь.

Розглянемо балку на пружній основі (рис. 9.1). Довжину балки l розділимо на n рівних частин з кроком a = l / n.

Рис. 9.1

На рівномірній сітці (а = const) найчастіше застосовують такі скінченно-різницеві апроксимації похідних:

Основні рівняння для балки, розташованої на вінклерівській основі, мають вигляд:

;

;

; (9.1)

Граничні умови можуть бути такими:

а) лівий кінець балки (х = 0) жорстко затиснений; у цьому випадку при х = 0, z = 0 і = 0;

б) лівий кінець балки шарнірно обпертий; у цьому випадку при х = 0, z = 0 і М = 0;

в) лівий кінець балки вільний; у цьому випадку при х = 0,

М = 0 і Q = 0.

Аналогічні умови можна записати і для правого кінця балки (при х = l).

Диференціальне рівняння зігнутої осі балки за допомогою кінцево-різницевої апроксимації похідної четвертого порядку зводимо до такої системи лінійних алгебричних рівнянь:

i=0, 1, 2, …, n.

До цієї системи з (n+1) лінійних алгебричних рівнянь необхідно додати ще чотири рівняння, які одержують у результаті виконання граничних умов на лівому і правому кінцях балки. Наприклад, граничні умови при х = 0 і х = l для балки з вільними кінцями замінюються виразами:

при i = 0

при i = n

Одержимо систему з (n+5) лінійних алгебричних рівнянь, розв’язуючи яку знаходимо значення прогину балки в (n + 1) основних і чотирьох законтурних точках. Після цього можна визначити кут повороту перерізу , згинальний момент М, поперечну силу Q і реактивний тиск р у (n + 1) точках балки за формулами:

Отже, маючи значення зусиль і переміщень у (n+1) точках, можна побудувати епюри цих величин.