9.2. Розрахунок балки на пружній основі

Для залізобетонної балки прямокутного поперечного перерізу, що лежить на пружній основі (рис. 9.2), потрібно:

Рис. 9.2

• в одинадцятьох перерізах за допомогою ЕОМ, використовуючи метод скінченних різниць, визначити прогин z, кут повороту , згинальний момент М, поперечну силу Q і реактивний тиск р;

• побудувати епюри z, , М, Q і р;

• зробити перевірку міцності перерізу балки. Якщо умова міцності не задовольняється або задовольняється з великим запасом, необхідно змінити розміри балки або клас бетону і знову провести розрахунок.

Примітка. При розрахунках балки бажано використовувати СНиП 2.03.01-84. «Бетонные и железобетонные конструкции».

Опис програми розрахунку на ЕОМ. Для числової реалізації цієї програми на ЕОМ складена програма мовою Бейсик.

За допомогою запропонованої програми можна розрахувати балку для різної кількості ділянок n, що вводяться з клавіатури.

У машину необхідно ввести: N  кількість ділянок балки; LВ  довжину балки; К₁  погонний коефіцієнт постелі; ЕІ  жорсткість; А(N  3,1) … А(N  2,5)  масив граничних умов для лівого кінця балки у формі скінченно-різницевої апроксимації частинних похідних; А(N  1, N  4) … А(NN)  масив граничних умов для правого кінця балки; В(N)  масив навантаження.

Вихідні дані: залізобетонна балка прямокутного поперечного перерізу 25 х 35 см і довжиною 5 м знаходиться на ґрунті з коефіцієнтом постелі К₀ = 9,0 ^. 10⁴ кН/м³.

Бетон класу В40, Е_б = 36,010³ МПа, R_в = 22,0 МПа. Рівномірне навантаження інтенсивністю q = = 800 кН/м діє на ділянці балки від х₁ = 1,5 м до х₂ = 4,0 м (рис. 9.2). Правий кінець балки шарнірно обпертий, а лівий – вільний.

Розв’язання. Для розв’язання задачі застосуємо метод скінченних різниць.

Як модель пружної основи використовуємо модель Вінклера. Основні рівняння для балки, розташованої на вінклерівській основі, мають вигляд формул (9.1).

Запишемо граничні умови:

а) для лівого вільного кінця при х = 0

М = 0 і Q = 0;

б) для правого кінця шарнірно обпертого при х = 5 м

z = 0 і М = 0.

Використовуючи скінченно-різницеву апроксимацію диференціальних залежностей (9.1), перепишемо граничні умови в такому вигляді:

а) для лівого кінця при х = 0 (і = 0)

;

;

б) для правого кінця при х = і (і = n)

z_n = 0;

.

Далі необхідний момент інерції перерізу

J = b h³/12 = 8,932 ^. 10^-4 м⁴

і жорсткість балки

ЕJ = 216 ^. 10⁴ кН ^. м².

Погонний коефіцієнт постелі

к = к₀ b = 2,25 ^. 10⁴ кН/м².

Розрахунок балки будемо робити для одинадцяти перерізів, що знаходяться один за одним на однаковій відстані. Вихідні дані вводимо в машину й одержуємо максимальний згинальний момент

М_mах = 374,56 кН ^. м.

Умова міцності балки за згинальним моментом

М_mах  М_розр,

де М_mах  максимальний згинальний момент від дії заданого навантаження; М_розр – розрахунковий момент

М_розр = ;

h₀ = h  2 см;

х = 0,5 h₀.

Розміри h, h₀ показані на рис. 9.3.

Підставляючи значення R_б, b, х і h₀ в умову міцності, маємо