Запитання для самоперевірки

1. Які є види напруженого стану матеріалу?

2. У чому полягає закон парності дотичних напружень?

3. Чому дорівнює сума нормальних напружень на двох взаємно перпендикулярних площадках?

4. На яких площадках виникають найбільші й найменші нормальні напруження?

5. Чому дорівнює найбільше дотичне напруження у випадку плоского напруженого стану?

6. Як знаходять деформації при плоскому і об’ємному напружених станах?

7. Як формулюються перша і друга теорії міцності?

8. Як знаходять розрахункове напруження за третьою і четвертою теоріями міцності?

3. Геометричні характеристики плоских перерізів

3.1. Обчислення геометричних характеристик плоских перерізів

Приклад 1. Для перерізу у вигляді прямокутного трикутника визначити центральні моменти інерції (рис. 3.1).

Розв’язання. Спочатку визначаємо моменти інерції .

Маємо: ; .

Вибираємо елементарну площадку dF (рис. 3.1). Маємо:

.

Рис. 3.1

Отже,

.

Аналогічно знаходимо

.

Далі обчислюємо відцентровий момент інерції:

.

У цьому випадку

.

Тоді

.

І, нарешті, моменти інерції перерізу відносно центральних осей y і z дорівнюють:

;

Приклад 2. Для нерівнобокого кутика (рис. 3.2) визначити відцентровий момент інерції .

Дано: нерівнобокий кутик 1258010мм (ДСТУ 8510-86); ; ; ; ; ; .

Осі u і v головні центральні осі.

Розв’язання.

Цю задачу розв’язуємо двома способами.

Рис. 3.2

Перший спосіб. Маємо:

.

Додатний кут відкладають від осі у проти ходу годинникової стрілки.

Оскільки ,

.

Звідси знаходимо відцентровий момент інерції:

.

Оскільки то

.

Другий спосіб. Маємо:

.

Із урахуванням того, що ,

.

Тут кут відкладається від осі v за ходом годинникової стрілки, отже, він від’ємний.

Значення знаходимо із співвідношення

.

Звідси

312 + 100 – 59,3 = 353 см⁴.

Далі sin 44 = 0,695.

Отже, .

Приклад 3. Для складного перерізу (рис. 3.3, а), який складається з двотавра (рис. 3.3,б) і швелера (рис. 3.3, в). Визначити положення головних центральних осей і значення головних центральних моментів інерції перерізу , .

Рис. 3.3

Дані для розрахунку:

двотавр №24 швелер №16:

(ДСТУ 8239-89) (ДСТУ 8240-97)

; ;

; ;

; ;

.

Розв’язання:

1. Визначаємо положення центра ваги перерізу. Координати центра ваги перерізу можна знайти за формулами:

.

Осі у і z сумісні з осями . Спочатку обчислюємо площу перерізу F:

.

Визначаємо статичні моменти перерізу:

;

.

Отже,

.

За цими даними позначаємо на рис. 3.3.а положення центра ваги перерізу O і проводимо центральні осі і .

2. Визначаємо моменти інерції перерізу відносно осей і

;

3. Знаходимо положення головних центральних осей інерції перерізу :

.

Цей кут відкладаємо від осі за годинниковою стрілкою (рис.3.3,а).

4. Визначаємо значення головних центральних моментів інерції перерізу:

.

Звідси:

;

.

Отже,

3540 см⁴;

1756 см⁴.

Перевірка:

;

3535 + 1762 3540 + 1756, 5297 5296.

Різниця , що допустимо.

Приклад 4. Для перерізу (рис. 3.4), який складається з швелера (рис. 3.5, а), нерівнополочного кутика (рис. 3.5, б) і пластини (рис. 3.5, в), визначити положення головних центральних осей і значення головних центральних моментів інерції перерізу , .

Дані для розрахунку:

Швелер №27 Кутик Пластина

(ДСТУ 8240-97) нерінополочний

12,5/8(12)

(ДСТУ 8510-86)

Площа перерізу Площа перерізу Площа перерізу

F= 35,20 см² ; F=23,36 см²; F= 8,4 см²;

І_y1= 4160,0 см⁴; I_z3=364,79 см⁴; h= 0,6 см;

І_z1= 262,0 см⁴; І_y3=116,84 см⁴; b= 14 см..

y₀= 2,47 см; I_{u min}=85,51 см⁴;

h= 27 см; y₀=4,22 см; b= 9,5 см.

z₀= 2,0 см; b= 12,5 см;

h=8,0 см; кут нахилу осі: tgα =0,4

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Розв’язання:.

1. Визначаємо положення центра ваги перерізу.

Координати центра ваги перерізу можна знайти за формулами:

.

Осі у і z сумісні з осями .

Спочатку обчислимо площу перерізу F:

.

Визначимо статичні моменти перерізу

.

Отже,

За цими даними наносимо на рис. 3.4 положення центра ваги перерізу С і проводимо центральні осі і .

2. Визначимо моменти інерції перерізу відносно осей і:

Значення відцентрового моменту для кутика відносно осей у₂, z₂ можна отримати за формулою:

звідси:

Звідси відцентровий момент інерції відносно осей у_с , z_с:

Далі можна визначити положення головних центральних осей інерції перерізу у ₀ , z₀

Тут tgα=0,4; α=22º. tg44º =0,965

Цей кут відкладаємо від осі за годинниковою стрілкою (рис. 3.4).

3. Визначимо значення головних центральних моментів інерції перерізу:

Звідси:

,

.

Отже,

9247,4 см⁴; 1151,6 см⁴.

Перевірка:

,

8616 + 1783 = 9247,4 + 1151,6;

10339 = 10339.