- •Передмова
- •1. Розтягання-стискання
- •1.1. Розрахунок статично визначуваного бруса
- •1.2. Розрахунок статично невизначуваного бруса
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •2. Теорія напруженого стану
- •2.1. Дослідження напруженого стану в точці
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •3. Геометричні характеристики плоских перерізів
- •3.1. Обчислення геометричних характеристик плоских перерізів
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •4. Плоске згинання
- •4.1. Побудова епюр поперечної сили q і згинального моменту м.
- •4.2. Розрахунок балки на міцність
- •4.3. Визначення переміщень методом безпосереднього інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі балки
- •4.4. Визначення переміщень балок методом початкових параметрів
- •4.5. Графо-аналітичний метод визначення переміщень балок
- •4.6. Розрахунок балок змінного перерізу
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •5. Кручення
- •5.1. Розрахунок вала на міцність і жорсткість
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •6. Складний опір
- •6.1. Розрахунок похилої балки
- •6.2. Розрахунок балки на косе згинання
- •6.3. Визначення ядра перерізу
- •6.4. Позацентрове розтягання
- •6.5. Розрахунок ступінчастої колони на позацентрове стискання
- •6.6. Розрахунок вала на згинання з крученням
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •7. Тонкостінні стержні
- •7.1. Розрахунок тонкостінного стержня відкритого профілю на позацентрове стискання
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •8. Статично невизначувані балки
- •8.1 Розрахунок нерозрізних балок
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •9. Балка на пружній основі
- •9.1. Застосування методу скінченних різниць до розрахунку балок на пружній основі
- •9.2. Розрахунок балки на пружній основі
- •374,6 КНм 224,6 кНм або Мmах Мрозр,
- •641,5 КНм 665,3 кНм або Мmах Мрозр.,
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевiрки
- •10. Визначення переміщень
- •10.1. Визначення переміщень за допомогою інтеграла Мора і правила Верещагіна
- •Методичнi рекомендації
- •Запитання для самоперевiрки
- •11. Статично невизначувані системи
- •11.1. Розрахунок рами методом сил
- •Методичнi рекомендації
- •Запитання для самоперевiрки
- •12. Розрахунки на міцність при напруженнях, які циклічно змінюються в часі
- •12.1. Розрахунок вала на витривалість
- •12.2. Застосування лінійного і білінійного правил підсумовування пошкоджень
- •103,1 КН протягом 1200 циклів;
- •56,2 КН протягом 7000 циклів;
- •30,4 КН протягом 50000 циклів.
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •13. Динамічна дія навантаження
- •13.1. Напруження і деформації при ударі
- •13.2. Розрахунок балки при ударній дії навантаження
- •1. Спочатку розв’язуємо задачу без урахування маси балки
- •13.3 Розрахунок складної балочної конструкції при ударній дії навантаження.
- •13.4. Вільні коливання систем з одним ступенем вільності
- •13.5. Розрахунок балки на змушені коливання
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •14. Стійкість стиснутого стержня
- •14.1. Розрахунок на стійкість стиснутого стержня
- •14.2. Підбір складного поперечного перерізу стержня із розрахунку на стійкість.
- •14.3. Розрахунок на поздовжньо-поперечне згинання
- •15. Криві стержні
- •15.1. Розрахунок бруса великої кривизни
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •16. Розрахунок конструкцій за несучою здатністю
- •16.1. Згинання балки з ідеального пружно-пластичного матеріалу
- •16.2. Pозрахунoк ступінчастих брусів за несучою здатністю
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •17. Напруження і деформації в наслідок повзучості
- •17.1. Підбір поперечного перерізу балки при повзучості
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
- •18. Механіка руйнування
- •18.1. Розрахунок залишкової міцності елемента конструкції за наявності концентратора напружень і тріщини
- •18.2. Визначення залишкової довговічності елемента конструкції
- •Методичні рекомендації
- •Запитання для самоперевірки
4.2. Розрахунок балки на міцність
Для балки, зображеної на рис. 4.4, а, потрібно:
1) визначити опорні реакції;
2) побудувати епюру поперечних сил Q;
3) побудувати епюру згинальних моментів М;
4) підібрати двотавровий поперечний переріз;
5) перевірити міцність балки за найбільшими нормальними напруженнями;
6) перевірити міцність балки за найбільшими дотичними напруженнями;
7) побудувати епюри напружень і у тому перерізі балки, де очікується найбільше значення головного напруження;
8) визначити положення головних площадок;
9) перевірити міцність балки за головними напруженнями, використовуючи четверту теорію міцності.
Дані для розрахунку: Р = 16 кН, q = 12 кН/м, m = 5 кНм, = 160 МПа.
Розв’язання.
1. Визначаємо опорні реакції і , для чого складаємо суму моментів усіх зовнішніх сил відносно точки А (точки В) і прирівнюємо її до нуля. Маємо:
.
Звідси знаходимо: ;
,
отже, .
Перевірка:
.
2. Визначаємо поперечну силу і будуємо епюру Q. Спочатку балку розбиваємо на ділянки I, II, III і IV.
На ділянці I (0 х 3 м): .
При х = 0 Q = 31,5 кН, при х = 3 м Q = 31,5 12 3 = 4,5 кН.
На ділянці II (3 м х 4 м):
.
На ділянці III (4 м х 6 м):
.
На ділянці IV (6 м х 7 м):
.
Рис. 4.4
За цими даними будуємо епюру Q (рис. 4.4, б).
3. Визначаємо згинальний момент і будуємо епюру М.
На ділянці I (0 х 3 м): .
При х = 0 М = 0, при х = 3 м кНм.
Визначаємо , звідси х = 2,625 м.
Отже,
.
На ділянці II (3 м х 4 м):
При х = 3 м М = 31,5 3 36 1,5 = 40,5 кНм;
при х = 4 м М = 31,5 4 36 2,5 = 36,0 кНм.
На ділянці III (4 м х 6 м):
.
При х = 4 м М = 31,5 4 36 2,5 = 36,0 кНм,
при х = 6 м М = 31,5 6 36 4,5 16 2 = 5 кНм.
На ділянці IV (6 м х 7 м):
.
За цими даними будуємо епюру М (рис. 4.4, в).
4. Підбираємо двотавровий переріз балки. Для цього використовуємо формулу
.
Найбільший згинальний момент буде в перерізі. = 41,35 кНм, = 160 МПа. Отже,
см3.
Обираємо двотавр № з см3.
5. Перевіряємо міцність балки за найбільшими нормальними напруженнями. Умова міцності за найбільшими нормальними напруженнями має вигляд:
.
У цьому випадку маємо
.
Умова міцності не виконується. Перенапруження становить , що допустимо.
6. Перевіряємо міцність балки за найбільшими дотичними напруженнями. Умова міцності за найбільшими дотичними напруженнями має вигляд:
,
тут – статичний момент відносно нейтральної осі частини перерізу, яка лежить нижче (вище) нейтральної осі; ширина перерізу балки на нейтральній осі.
Для стальних балок . Отже,
МПа.
Таким чином, для двотавра № 22а
.
Найбільша поперечна сила буде в перерізі х = 0; . Отже,
тобто умова міцності за найбільшими дотичними напруженнями виконується.
7. Визначаємо напруження і у тому перерізі балки, де очікуються найбільші значення головних напружень.
Для перевірки міцності за головними напруженнями візьмемо переріз х = (4 + 0) м, у якому М = 36,0 кНм, Q = 20,5 кН.
Нормальні й дотичні напруження визначаємо за формулами:
.
Головні напруження і визначаємо за формулою
.
Напруження і визначаємо в точках 1, 2, 3, 4, а в точках 1', 2', 3' аналогічно (рис. 4.5).
У точці 1:
;
;
Рис. .5.5
.
У точці 2:
;
;
.
У точці 3:
Рис. 4.5
;
;
;
.
У точці 4:
;
;
.
За цими даними будуємо епюри у перерізі (рис. 4.5).
8. Визначаємо положення головних площадок за формулою:
.
У точці 1:
= 142 МПа; ; ; .
У точці 2:
= 131 МПа; = –15,5 МПа;
; .
У точці 3:
= 71 МПа; = –18,1 МПа;
; .
У точці 4:
= 0 МПа; = –19,5 МПа;
; .
У точці 3:
= – 71 МПа; = –18,1 МПа;
; .
У точці 2:
= –131 МПа; = –15,5 МПа;
; .
У точці 1:
= –142 МПа; ; ; .
Положення головних площадок показано на рис. 4.6.
9. Перевіряємо міцність балки за головними напруженнями, використовуючи четверту теорію міцності.
Умова міцності за четвертою теорією міцності (теорією найбільшої потенціальної енергії зміни форми) має вигляд:
,
де розрахункове напруження за четвертою теорією міцності.
Як видно з рис. 4.6, виконувати перевірку міцності за головними напруженнями слід у точці 1. У цій точці: ; .
Отже,
,
тобто умова міцності за головними напруженнями в заданому перерізі виконується.
Рис. 4.6