Методичні рекомендації
Під час вивчення цього розділу потрібно відразу усвідомити, який стержень є тонкостінним. При деформації тонкостінного стержня поперечний переріз не залишається плоским – проходить депланація перерізу. Слід більш чітко розібратися, що являє собою депланація перерізу. Необхідно навчитися також визначати секторіальну площу і секторіальні характеристики тонкостінних перерізів. Потрібно вміти визначати дотичні напруження при поперечному згинанні тонкостінних стержнів. Варто звернути особливу увагу на поняття «центр згинання» та вміти визначати депланацію поперечних перерізів тонкостінного стержня при крученні. Розібратися в питаннях стисненого кручення тонкостінних стержнів відкритого профілю. Слід також розглянути загальні випадки навантаження тонкостінного стержня і ознайомитися з поняттям «бімомент».
Запитання для самоперевірки
1. Який стержень називається тонкостінним?
2. Що таке депланація перерізу тонкостінного стержня?
3. Які існують секторіальні характеристики тонкостінних перерізів і як вони визначаються?
4. Що таке центр згинання і як визначається його положення?
5. Напишіть формулу для визначення нормального напруження в поперечному перерізі тонкостінного стержня з урахуванням бімоменту?
8. Статично невизначувані балки
8.1 Розрахунок нерозрізних балок
Приклад 1. Для заданої балки (рис. 8.1) побудувати епюри
Q і М.
За формулою
Рис. 8.1
знаходимо, що в даному випадку ступінь статичної невизначуваності балки дорівнює одиниці.
Рівняння трьох моментів має вигляд:
Маємо:
;
;
Отже,
,
звідси
.
Згинальний момент
у прогоні
:
Рис. 10.10
Рис. 10.10
або
;
.
Поперечна сила в
прогоні
на основі формули
буде дорівнювати:
При x = 0
;
при x = l
.
Опорні реакції:
;
.
Перевірка:
.
Приклад 2. Для заданої балки (рис. 8.2) побудувати епюри
Q і М.
Ступінь статичної невизначуваності даної балки дорівнює одиниці.
Рівняння трьох моментів має вигляд:
Маємо:
Отже,
Рис. 8.2
Оскільки
,
то
Визначаємо
поперечні сили. Для першого прогону:
для другого прогону:
Визначаємо згинальні моменти. Для першого прогону:
при x = 0 M = 0;
при
;
.
Розраховуємо опорні реакції:
Перевірка:
,
тобто умова рівноваги виконується.
Приклад 3. Для заданої балки (рис. 8.3) потрібно за допомогою рівняння трьох моментів знайти опорні моменти та побудувати епюри згинальних моментів М і поперечних сил Q від постійного навантаження.
Розв’язання.
Використовуємо рівняння трьох моментів
.
Балка три рази статично невизначувана і система рівнянь трьох моментів набуває вигляду:
;
;
.
У цьому випадку М0 = –50 кН·м, l4 = 0.
Фіктивні опорні реакції (див. табл. Дод. 4).
кН·м2.
кН·м2.
Система рівнянь трьох моментів:
Після перетворень маємо:
Рис. 8.3
Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо
М1 = –50,3 кНм, М2 = –16,5 кНм, М3 = –53,0 кНм.
Згинальний момент в довільному перерізі нерозрізної балки визначаємо за формулою:
.
Тут М0(х) – згинальний момент у перерізі хn n-го прогону від зовнішнього навантаження, яке обчислюється як для балки, що шарнірно обперта кінцями.
кН·м.
В перерізі
в місті прикладення сили Р:
кН·м.
Визначаємо М(х) на другому прогоні
Звідки х = 3,84 м.
кН·м.
Визначаємо М(х) на третьому прогоні
Звідси х = 2,98 м.
Тоді:
кН·м.
За цими даними будуємо епюру М (рис. 8.3).
Поперечна сила в будь-якому перерізі n-го прогону нерозрізної балки визначається за формулою:
Тут Q0(х) – поперечна сила простої балки.
Знаходимо Q у першому прогоні:
кН
;
кН
.
На другому прогоні:
При
кН.
При
кН.
На третьому прогоні
При
кН.
При
кН.
За цими даними будуємо епюру Q (рис. 8.3).
Знаходимо опорні реакції за формулою
Маємо:
R0 = 33,3 + 50 = 83,3 кН;
R1 = 19,3 – (–66,7) = 86,0 кН;
R2 = 29,8 – (–5,7) = 35,5 кН;
R3 = 40,2 кН.
Перевірка:
R0
+ R1 +R2
+ R3 = 50 – 100 – 5 ·
5 – 10 · 7 = 0;
245 – 245 = 0.