374,6 КНм  224,6 кНм або Мmах  Мрозр,

Рис. 9.3

таким чином, умова міцності не виконується. Для збільшення М_розр змінюємо розміри перерізу балки.

Методом підбору розмірів перерізу рахуємо на машині доти, доки не виконається умова міцності.

Остаточно беремо: b = 0,35 м; h = 0,5 м.

Коефіцієнт постелі: к = 3,1510⁴ кН/м², ЕІ = 1,31210⁵ кНм².

Перевіряючи умову міцності, знаходимо:

641,5 КНм  665,3 кНм або Мmах  Мрозр.,

отже, для балки з новими розмірами поперечного перерізу умова міцності задовольняється.

На підставі отриманих даних побудовані епюри z, р, , М і Q (рис. 9.4).

Методичні рекомендації

Вивчаючи балки на пружній основі, слід повторити методи розв’язання диференціальних рівнянь четвертого порядку, а саме, метод Коші. Необхідно запам’ятати гіпотезу Вінклера про пропорційну залежність між реакцією і осіданням основи балки, визначити переваги і недоліки гіпотези. Варто навчитися виводити диференціальні рівняння зігнутої осі балки на пружній основі; розібратися, як отримують розв’язок для нескінченно довгої балки і балки скінченної довжини (метод О.М. Крилова). Особливу увагу слід зосередити на застосуванні методу скінченних різниць до розрахунку балок на пружній основі.

Запитання для самоперевiрки

1. У чому полягає гіпотеза Вінклера?

2. Виведіть диференціальне рівняння зігнутої осі балки на пружній основі.

3. Розв’яжіть диференціальне рівняння зігнутої осі балки на пружній основі для нескінченно довгої балки, навантаженої силою.

4. Як отримати розв’язання рівняння у випадку дії декількох зосереджених сил?

5. Виведіть розв’язок диференціальнго рівняння зігнутої осі балки скінченної довжини методом О.М. Крилова.

6. Як записуються частинні розв’язки для рівномірно розподіленого навантаження і зосередженої сили?

7. Як записати граничні умови для балки скінченної довжини, використовуючи скінченні різниці?

Рис. 9.4

10. Визначення переміщень

10.1. Визначення переміщень за допомогою інтеграла Мора і правила Верещагіна

Приклад 1. Необхідно визначити прогин і кут повороту перерізу в точці А для балки, показаної на рис. 10.1.

Нехай:

Тоді:

Рис. 10.1

Розв’яжемо цю задачу без застосування правила Верещагіна. Маємо:

Отже,

Розв’яжемо цю задачу, використовуючи правило Верещагіна:

(10.1)

,

тобто отримаємо ті ж самі результати. Отже,

Приклад 2. Для заданої балки (рис. 10.2) потрібно визначити прогин і кут повороту .

Маємо:

Рис. 10.2

=

=

Ця задача розв’язана з використанням правила Верещагіна. Таким чином:

Приклад 3. Для заданої балки (рис. 10.3) визначити прогин у середині прогону з урахуванням впливу поперечної сили. Маємо:

+;

(10.2)

Рис. 10.3

Перший член у формулі (10.2) враховує вплив згинального моменту, а другий член вплив поперечної сили.

Розглянемо числовий приклад. Нехай поперечний переріз двотаврової балки буде . Маємо:

;

У цьому випадку отримаємо:

Вплив поперечної сили дорівнює

,

тому при визначенні переміщень елементів конструкцій, які працюють переважно на згинання, впливом поперечної сили зазвичай нехтують.

Приклад 4. Для заданої балки, показаної на рис. 10.4, визначити прогин перерізу С і кут повороту перерізу D.

Маємо: ; .

1. Будуємо епюру М_р.

Спочатку визначаємо опорні реакції R_A і R_D .

,,

, ,

Рис. 10.4

Звідси

; .

Перевірка:

,

Визначаємо згинальні моменти

;

;

.

2.Будуємо епюри і

3.Визначаємо переміщення z_C і .

Отже,

,

При обчисленні переміщень і була використана табл. Дод. 5