3. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета

Пусть на потолке вагона на нити висит шарик массой m. Пока вагон покоится и движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение. При этом сила тяжести уравновешивается реакцией нити.

Если вагон поезда набирает скорость, то нить отклонится от вертикали назад (рис. 10.3).

Рис.10.3

Обозначим ускорение поезда . Относительно Земли (которую мы считаем инерциальной системой отсчета) шарик имеет такое же ускорение _, как и вагон. Это ускорение сообщается шарику силой . Она равна сумме силы натяжения нити Т и силы тяжести , т.е. . Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущимся вагоном, шарик покоится. Отсутствие ускорения шарика относительно вагона можно объяснить тем, что сила уравновешивается силой инерции, равной (), так как на шарик никакие друге силы не действуют.

Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону, и пассажир отделяется от спинки сиденья. Силы инерции особенно заметны при внезапных торможениях поезда. Они проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

123 4. Силы инерции при равномерном вращательном движении системы отсчета. Центробежная сила инерции

Рассмотрим поведение тел в системе отсчета К', вращающейся относительно инерциальной системы К с постоянной угловой скоростью : в системе отчета К' поступательная составляющая движения отсутствует. Ясно, что она неинерциальна. Примером рассматриваемого движения может служить система, связанная с вращающимся диском электропроигрывателя.

Укрепим на диске радиально направленный стержень, на который наденем шарик, «привязанный» к оси диска пружиной (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Шарик может перемещаться только вдоль радиуса диска, скользя без трения по тонкому стержню

Пока диск не вращается, пружина не деформирована. При раскручивании диска шарик растягивает пружину до тех пор, пока упругая сила не станет равной произведению массы шарика на его ускорение. Обозначим через – радиус – вектор, проведенный к шарику от центра диска и перпендикулярно к оси вращения. Его модуль дает расстояние R шарика от оси вращения системы К'. Так как шарик движется от центра и вдоль радиуса окружности вместе с равномерно вращающимся диском, ускорение шарика равно по модулю центростремительному ускорению и направлено противоположно ему:

(10.4)

Таким образом, при вращении диска

(10.5)

Относительно системы отсчета К', связанной с диском, шарик покоится. Формально это можно объяснить тем, что в данной системе кроме силы на шарик действует сила инерции

, (10.6)

направленная вдоль радиуса от оси вращения диска.

Определяемая выражением (10.6) сила называется центробежной силой инерции. Она возникает во вращающихся системах отсчета и не зависит от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее со скоростью. Это следует из того, что скорость не входит в формулу (10.6).

Земля подобна гигантскому вращающемуся шару. Поэтому, рассматривая поведение тел в системе отсчета, связанного с Землей, при точных расчетах нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта сила максимальна на экваторе. За сутки, т.е. за 86400 с, Земля поворачивается на угол 2 л. Следовательно, угловая скорость Земли = 2л : 86400 = 7,27 • 10^-5рад/с.

Согласно формуле (10.6) модуль центробежной силы инерции, действующей на экваторе на тело массой 1 кг, равен F_цб = 1,00·(7,27·10-⁵)²·6,38·10^б = 0,0337 Н, что составляет 1/291 часть силы тяжести mg, равной 9,81 Н. Отсюда следует, что при рассмотрении движения тел относительно Земли в ряде случаев центробежной силой инерции можно пренебречь.

Влияние центробежной силы наиболее существенно на вес тела. С целью изучения проявления данного эффекта рассмотрим тело массой m, находящееся вблизи поверхности Земли на широте (рис.10.5). Ускорение свободного падения g есть ускорение тела относительно Земли, т.е. ускорение во вращающейся системе отсчета. В этой системе кроме гравитационной силы F_g, с которой Земля притягивает тело, нужно учитывать и центробежную силу инерции.

Рис.10.5.

Сила тяжести тg является результирующей сил F_g и , т.е. .

Как видно из рисунка, тело отстоит от оси вращения на расстоянии . Тогда величина центробежной силы равно .

Направление силы mg совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением. Из рис. 10.5 видно, что направление отвеса не совпадает с направлением к центру Земли, образуя с ним угол . Для определения этого угла воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих этим сторонам углов. Углу противолежит сторона треугольника, длина которой численно равна , углу – сторона, длина которой численно равно тg. Следовательно, .

Отсюда следует, что . Подставляя известные значения = 2л : 86400 = 7,27 • 10^-5рад/с, , получим (10.7)

Из (10.7) следует, что отклонение отвеса равно нулю на экваторе, где , и на полюсах, где =90°, а на широте= 45° равно 0,0018 рад или 6'. Разность F_g – mg равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы тg, на экваторе. Из-за сплюснутости Земли сила Р_е сама по себе изменяется с широтой, будучи на полюсах на 0,2 % больше, чем на экваторе. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Значение g = 9,80665 м/с² принято в качестве нормального (стандартного) значения.