Контрольные вопросы

1. Что характерно для скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

2. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил и ?

3. От каких величин зависит угловое ускорение тела?

4. Могут ли момент импульса и угловая скорость вращающегося тела быть неколлинеарными?

5. Приведите примеры проявления закона сохранения момента импульса твердого тела.

6. Что такое момент инерции тела?

7. Какова роль момента инерции тела во вращательном движении?

8. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

9. Что такое момент импульса материальной точки? Твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

10. В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В каких системах он выполняется? Приведите примеры.

11. Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, прокомментировав их аналогии.

12. Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?

13. В каком случае кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой ? Как ее вывести?

14. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

15. Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

16. Что происходит с угловой скоростью прецессии при уменьшении скорости вращения гироскопа вокруг его оси?

17. Докажите, что угловая скорость прецессии не зависит от угла .

18. Как влияет сила трения на вращение гироскопа?

19. Выведите формулу кинетической энергии твердого тела при плоском движении.

20. Что такое центр тяжести твердого тела. Как экспериментально и теоретически определить положение центра тяжести твердого тела?

21. Как определяется степень свободы твердого тела?

22. Что такое связи?

23. Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

Лекция №8. Механика деформируемых тел

1. Упругие силы

Упругие силы действуют со стороны деформированного тела на тело, непосредственно соприкасающееся с этим деформированным телом. Данные силы действуют также со стороны деформированной части тела на другие смежные части этого же тела.

Под деформацией подразумевается изменение взаимного расположения точек тела.

Деформации сопровождаются изменением геометрической формы тела и его размеров.

На данное тело упругими силами могут действовать твердые, жидкие и газообразные тела. Упругие силы в твердых телах возникают как при изменении их формы, так и при изменении объема. В жидкостях упругие силы возникают лишь при изменении объема жидкости. Газ всегда действует упругими силами на стенки сосуда, в котором он находится, величина этих сил зависит от объема сосуда.

Упругие силы представляют собой проявление сил взаимодействия молекул, составляющих твердые, жидкие и газообразные тела. В конечном счете, происхождением они обязаны электрическому взаимодействию между частицами, входящими в состав молекул. Силы молекулярного взаимодействия очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами и радиус действия их не более 10^-7 – 10^-8 см. Поэтому упругими силами взаимодействуют между собой только тела, находящиеся в непосредственном контакте.

Упругая сила действует только со стороны деформированного тела. Действительно, если тело не подвергается действию внешних сил, то каждая молекула тела находится в равновесном положении. При деформации тела изменяется положение каждой молекулы относительно соседних. Молекулы, находящиеся от данной молекулы на расстояниях, меньших равновесного, действуют на неё силами отталкивания, а молекулы, находящиеся на расстояниях, больших равновесного, – силами притяжения. В результате действия совокупности молекул, сдвинутых со своих равновесных положений, возникает сила, действующая на тело, непосредственно соприкасающееся с данным. Это и есть упругая сила.

Упругие силы возникают лишь при таких деформациях, когда при прекращении действия на тело внешних сил деформация исчезает, т.е. тело восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. Такие деформации называются упругими.

Опыт показывает, что сила упругости , возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна величине деформации :

(8.1)

Это положение называется законом Гука.

Коэффициент пропорциональности k зависит от свойств тела, подвергающегося деформации (его размеров, формы, вещества, из которого оно изготовлено), от вида деформации, от выбора величины, характеризующего деформацию, а также от температуры.

В качестве примера тела, действующего на другие тела упругой силой, рассмотрим пружину. Закон Гука для пружины имеет вид: , где – деформация пружины, равная изменению её длины, причем – длина недеформированной пружины, – длина деформированной (растянутой или сжатой). Коэффициент называется коэффициентом жесткости пружины. Он показывает, какую силу нужно приложить к данной пружине для её растяжения на единицу. Величина этого коэффициента зависит от числа витков, их диаметра, материала проволоки, из которой изготовлена пружина, и диаметра этой проволоки.

Направления сил упругости и деформаций противоположны. Рассмотрим пружину, один конец которой закреплен, а на другой конец прикреплено тело. Выберем систему координат, одна из осей которой (например, ось Х) направлена вдоль пружины, а начало её связано с концом недеформированной пружины. Тогда при смещении тела вдоль оси Х на некоторое расстояние деформация пружины, прикрепленной к этому телу, будет равна координате этого тела. В этом случае упругая сила, действующая на тело со стороны пружины, будет иметь проекцию , которая согласно закону Гука равна

(8.2)

Знак минус показывает, что при смещении тела в положительном направлении оси Х проекция силы на эту же ось имеет отрицательное направление.

Упругие силы относятся к центральным силам, так как при любом положении тела деформация тела определяется координатой х.

Действие на твердое тело упругих сил со стороны других твердых тел проявляется в виде силы нормального давления. Например, на тело, лежащее на столе, действует упругая сила со стороны стола.

Твердые тела, действующие на некоторое тело упругими силами, могут ограничивать его движение. Например, такими ограничивающими движение телами являются рельсы, плоскости, по которым скользит тело, нити, связывающие тело с другими телами, оси, закрепленные в подшипниках и т.д. Тела, ограничивающие движение данного тела, называют связями, а упругие силы, которыми они действуют на это тело – силами связей или силами реакций. Измерить их практически невозможно, однако можно найти при помощи законов Ньютона, учитывая ограничения, накладываемые этими связями на движение тел. Например, тело соскальзывает с наклонной плоскости без трения. На тело действует сила тяжести, направленная вниз, и упругая сила связи (реакции) со стороны наклонной плоскости, направленная перпендикулярно поверхности соприкосновения тела и плоскости в сторону тела. Сила связи в уравнениях Ньютона фигурирует в качестве неизвестных.